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3.2双曲线的简单性质一、预习教材·问题导入如图是阿联酋阿布扎比国家展览中心(ADNEC).阿布扎比是阿联酋的首都,这个双曲线塔形建筑是中东最大的展览中心.它的形状就像一条双曲线.这是双曲线在建筑学上的应用,要想让双曲线更多更好的为生活、工作所应用,我们必须研究双曲线的性质.问题1:双曲线的对称轴、对称中心是什么?提示:坐标轴;原点.问题2:双曲线的离心率越大,双曲线就越开阔吗?提示:是.离心率越大,ba越大,双曲线就越开阔.二、归纳总结·核心必记标准方程图像性质焦点__________________________________________焦距________________范围__________________________________________顶点_________________________________x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)双曲线的性质|F1F2|=2cx≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R(-a,0),(a,0)(-a,0),(a,0)标准方程性质对称性对称轴:____________;对称中心:__________轴长实轴长=____,虚轴长=____渐近线离心率x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)x轴、y轴坐标原点2a2bxa±yb=0或y=±baxxb±ya=0或y=±abxe=ca(e>1)三、综合迁移·素养培优1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)双曲线x22-y24=1的焦点在y轴上()(2)双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔()(3)以y=±2x为渐近线的双曲线有2条()答案:(1)×(2)√(3)×2.双曲线x216-y2=1的顶点坐标是()A.(4,0),(0,1)B.(-4,0),(4,0)C.(0,1),(0,-1)D.(-4,0),(0,-1)答案:B3.中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是()A.x225-y29=1B.x225-y29=1或y225-x29=1C.x2100-y236=1D.x2100-y236=1或y2100-x236=1答案:B4.双曲线x2a2-y29=1(a>0)的一条渐近线方程为y=35x,则a=________.答案:5考点一双曲线的简单性质[典例]求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.[解]双曲线的方程化为标准形式是x29-y24=1,∴a2=9,b2=4,∴a=3,b=2,c=13.又双曲线的焦点在x轴上,∴顶点坐标为(-3,0),(3,0),焦点坐标为(-13,0),(13,0),实轴长2a=6,虚轴长2b=4,离心率e=ca=133,渐近线方程为y=±23x.[类题通法]由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键;(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值;(3)由c2=a2+b2求出c值,从而写出双曲线的几何性质.[注意]求性质时一定要注意焦点的位置.[针对训练]1.若双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m=________.解析:由双曲线的标准方程可知a2=1,b2=m,所以e=1+b2a2=1+m=3,解得m=2.答案:22.求双曲线16x2-9y2=-144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程.解:把方程化为y216-x29=1,∴a=4,b=3,c=5.∴实半轴长a=4,虚半轴长b=3,焦点坐标(0,-5),(0,5);离心率e=ca=54,渐近线方程为y=±43x.考点二利用双曲线的性质求双曲线方程[典例]求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)实轴长为16,离心率为54;(2)双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(3,0).[解](1)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1或y2a2-x2b2=1(a0,b0).由题意知2a=16,ca=54,c2=a2+b2,解得c=10,a=8,b=6,所以双曲线的标准方程为x264-y236=1或y264-x236=1.(2)设双曲线方程为:x2a2-y2b2=1(a0,b0).由已知得a=3,c=2,∴b2=c2-a2=1.∴双曲线的标准方程为:x23-y2=1.[类题通法]根据双曲线的性质求双曲线的标准方程时,一般采用待定系数法.首先要根据题目中给出的条件,确定焦点所在的位置,然后设出标准方程的形式,找出a,b,c的关系,列出方程求值,从而得到双曲线的标准方程.[针对训练]1.已知双曲线与椭圆x216+y264=1有共同的焦点,且它的离心率为2,则该双曲线的方程为()A.x2-y2=50B.x2-y2=24C.x2-y2=-50D.x2-y2=-24解析:因为双曲线与椭圆x216+y264=1有共同的焦点,所以双曲线的焦点在y轴上,分别为(0,-43)和(0,43),因为双曲线的离心率为2,所以ca=43a=2,所以a=26,b=26,所以双曲线的方程为y2-x2=24,即x2-y2=-24.答案:D2.(1)已知双曲线的焦点在y轴,实轴长与虚轴长之比为2∶3,且经过P(6,2),求双曲线方程;(2)求焦点在x轴上,离心率为53,且经过点M(-3,23)的双曲线方程.解:(1)设双曲线方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0).依题意可得ab=23,4a2-6b2=1⇒a2=43,b2=3.故所求双曲线方程为34y2-13x2=1.(2)设所求双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0).∵e=53,∴e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=259,∴ba=43.9a2-12b2=1,解得a2=94,b2=4.∴所求的双曲线方程为x294-y24=1.考点三求双曲线的离心率[典例]已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为60°,求双曲线C的离心率.[解]设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),如图所示,由于在双曲线中cb,故在Rt△OF1B2中,只能是∠OF1B2=30°,所以bc=tan30°,c=3b,所以a=2b,离心率e=ca=32=62.[类题通法]求双曲线离心率的两种方法(1)直接法:若已知a,c可直接利用e=ca求解,若已知a,b,可利用e=1+ba2求解.(2)方程法:若无法求出a,b,c的具体值,但根据条件可确定a,b,c之间的关系,可通过b2=c2-a2,将关系式转化为关于a,c的齐次方程,借助于e=ca,转化为关于e的n次方程求解.[针对训练]1.若双曲线x2+ky2=1的离心率是2,则实数k的值是()A.-3B.13C.3D.-13解析:双曲线x2+ky2=1可化为x21+y21k=1,故离心率e=1-1k1=2,解得k=-13.答案:D2.如果双曲线x2a2-y2b2=1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点,则双曲线离心率的取值范围是________.解析:如图,因为AO=AF,F(c,0),所以xA=c2,因为A在右支上且不在顶点处,所以c2a,所以e=ca2.答案:(2,+∞)3.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点分别为F1,F2,以F1F2为边作等边△MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边,则双曲线的离心率为________.解析:如图,点N为MF2的中点,且在双曲线上,利用双曲线的定义即可求解.|F1N|=3c,|NF2|=c.又∵|NF1|-|NF2|=2a,即3c-c=2a.∴e=ca=23-1=3+1.答案:3+1
本文标题:2019-2020学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3 3.2 双曲线的简单性质课件 北师大版选
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