2019-2020学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3 3.1 双曲线及其标准方程课件 北师大版

§3双曲线3．1双曲线及其标准方程一、预习教材·问题导入2013年11月30日，中国海军第16批护航编队“盐城”导弹护卫舰，“洛阳”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“洛阳”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“洛阳”舰哨兵相距1600m的“盐城”舰，3秒后也监听到了马达声(声速340m/s)，用A、B分别表示“洛阳”舰和“盐城”舰所在的位置，点M表示快艇的位置，设|AB|＝1600＝2c,||MA|－|MB||＝1020＝2a.问题1：快艇距我两护卫舰的距离之差是多少？提示：|MB|－|MA|＝340×3＝1020(m)．问题2：我两护卫舰为辨明快艇意图，保持不动，持续监测，发现快艇到我两舰距离之差保持不变，快艇运动有何特点？提示：始终满足|MB|－|MA|＝1020.问题3：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则点M的轨迹方程是什么？提示：(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．问题4：若以AB所在直线为y轴，AB的垂直平分线为x轴，则点M的轨迹方程为什么？提示：(c2－a2)y2－a2x2＝a2(c2－a2)．二、归纳总结·核心必记1．双曲线的定义定义平面内到两定点F1，F2的_________________等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线焦点____________叫作双曲线的焦点焦距_____________的距离叫作双曲线的焦距集合语言距离之差的绝对值定点F1，F2两个焦点之间P＝{M|_________________,0＜2a＜|F1F2|}|MF1|－|MF2|＝2a2．双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图像标准方程焦点坐标__________________________________________a，b，c的关系_____________x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)F1(－c,0)；F2(c,0)F1(0，－c)；F2(0，c)c2＝a2＋b2三、综合迁移·素养培优1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线()(2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a0，b0且a≠b()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是ab()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知双曲线x216－y29＝1，则双曲线的焦点坐标为()A．(－7，0)，(7，0)B．(－5,0)，(5,0)C．(0，－5)，(0,5)D．(0，－7)，(0，7)答案：B3．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是()A.x216－y29＝1(x≤－4)B.x29－y216＝1(x≤－3)C.x216－y29＝1(x≥4)D.x29－y216＝1(x≥3)答案：D4．双曲线的两焦点坐标是F1(0,3)，F2(0，－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是________．答案：y25－x24＝1考点一双曲线的标准方程[典例]根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．[解](1)法一：(待定系数法)由题意知双曲线的两焦点F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，将点A(4，－5)代入双曲线方程得25a2－16b2＝1，又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为y25－x24＝1.法二：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)且A(4，－5)在双曲线上，则2a＝||AF1|－|AF2||＝|20－80|＝25，∴a＝5，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.即双曲线的标准方程为y25－x24＝1.(2)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．因为M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，所以1a2－1b2＝1，－22a2－52b2＝1，解得a2＝78，b2＝7.若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．同理有1a2－1b2＝1，52a2－－22b2＝1，解得a2＝－7，b2＝－78(不合题意，舍去)．所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.法二：设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn0)．将点M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得m＋n＝1，4m＋25n＝1，解得m＝87，n＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.[类题通法]求双曲线标准方程的常用方法(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程．(2)用待定系数法，具体步骤如下：[针对训练]1．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1B.x23－y2＝1C．y2－x23＝1D.x22－y22＝1解析：由双曲线定义知，2a＝2＋22＋32－2－22＋32＝5－3＝2，∴a＝1.又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.答案：A2．已知双曲线经过点P(3,27)和点Q(－62，7)，求该双曲线的标准方程．解：设所求双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn0)，又双曲线过P，Q两点，∴9m＋28n＝1，72m＋49n＝1，解得m＝－175，n＝125.故所求双曲线标准方程为y225－x275＝1.3．已知双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程．解：因为椭圆x227＋y236＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A点的坐标为(15，4)或(－15，4)，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，所以a2＋b2＝9，16a2－15b2＝1，a2＝4，b2＝5.所以所求双曲线的标准方程为y24－x25＝1.考点二曲线类型的判定[典例]已知曲线C：x2t2＋y2t2－1＝1(t≠0，t＝±1)．(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．[解](1)当|t|1时，t20，t2－10，且t2≠t2－1，曲线C为椭圆；当|t|1时，t20，t2－10，曲线C为双曲线．(2)证明：当|t|1时，曲线C是椭圆，且t2t2－1，因此c2＝a2－b2＝t2－(t2－1)＝1，∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．当|t|1时，双曲线C的方程为x2t2－y21－t2＝1，∵c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1，∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点．[类题通法]方程Ax2＋By2＝1(A，B≠0)表示椭圆的充要条件为A0，B0，且A≠B；表示双曲线的充要条件为AB0，若A0，B0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线；若B0，A0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线．即双曲线的焦点位置是由x2，y2的系数的正负决定的．[针对训练]1．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和a＝5时，P点的轨迹是()A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线解析：由题意，|F1F2|＝10，当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6＜10，此式中没有加绝对值，此时点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，点P的轨迹为以F2为端点沿x轴向右的一条射线．答案：C2．若方程x2m2＋1－y2m2－3＝1表示双曲线，则实数m满足()A．m≠1且m≠－3B．m＞1C．m＜－3或m＞3D．－3＜m＜1解析：因为方程x2m2＋1－y2m2－3＝1表示双曲线，而m2＋1＞0恒成立，所以m2－3＞0，解得m＜－3或m＞3，故选C.答案：C考点三双曲线的定义及应用[典例]若F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．[解]由双曲线方程x29－y216＝1，可知a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5.由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a＝±6，将此式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.如图所示，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.[类题通法]双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件||PF1|－|PF2||＝2a(02a|F1F2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正弦、余弦定理，同时要注意整体代换思想的应用．[针对训练]1．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6D．8解析：不妨设点P在双曲线的右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2c＝22，又因为∠F1PF2＝60°，所以在△F1PF2中利用余弦定理可知：|F1F2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝4，故选B.答案：B2．[变条件，变设问]若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离．解：由双曲线的标准方程x29－y216＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，∴|10－|PF2||＝6，解得|PF2|＝4或|PF2|＝16.3．[变条件]若本例条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”其他条件不变，求△F1PF2的面积．解：由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，|PF2|－|PF1|＝6，可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，∴S△F1PF2＝12×4×46＝86.