2019-2020学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 1 椭圆 1.1 椭圆及其标准方程课件 北师

一、椭圆的定义我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的，两焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的．二、椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程焦点坐标a、b、c的关系a2＝b2＋c2焦点焦距(±c,0)(0，±c)x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)[疑难提示]求椭圆标准方程时应注意的问题(1)确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面．“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，即在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确定a2、b2的具体数值，常用待定系数法．(2)当椭圆的焦点位置不明确(无法确定)求其标准方程时，可设方程为x2m＋y2n＝1(m0，n0且m≠n)，从而避免讨论和繁杂的计算；也可设为Ax2＋By2＝1(A0，B0且A≠B)，这种形式在解题中较为方便．[练一练]1．已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，给出下列说法：①当a＝2时，点P的轨迹不存在；②当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3；③当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6；④当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆．其中正确的说法是__________(填序号)．解析：当a＝2时，2a＝4|AB|，故点P的轨迹不存在，①正确；当a＝4时，2a＝8|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，②错误；③正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，④错误．答案：①③2．若方程x2k－5＋y210－k＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．解析：由10－kk－50，得5k152.答案：(5，152)探究一椭圆的定义[典例1]点M(x，y)在运动过程中，总满足关系式x2＋y－12＋x2＋y＋12＝4，点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程．[解析]x2＋y－12＋x2＋y＋12＝4.即为x－02＋y－12＋x－02＋y＋12＝4，设F1(0，1)，F2(0，－1)，则上式即为|MF1|＋|MF2|＝4，即动点M到两定点F1，F2的距离之和为定值2a＝4，且2a|F1F2|＝2.∴点M的轨迹是椭圆，且椭圆的焦点为F1(0,1)和F2(0，－1)．∴2c＝2，c＝1,2a＝4，a＝2.∴点M的轨迹方程为y24＋x23＝1.到两定点的距离之和是常数且必须大于两定点的距离的轨迹是椭圆．特别注意焦点的位置及a，b，c的关系．1.已知椭圆C上任意一点P(x，y)都满足关系式x－12＋y2＋x＋12＋y2＝4，则椭圆C的标准方程为()A.x23＋y24＝1B.x24＋y23＝1C.x216＋y215＝1D.x24＋y2＝1解析：由题设可知椭圆C的焦点在x轴上，且2a＝4，c＝1，故a＝2，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.答案：B2．求焦点在坐标轴上，且过点A(2,0)和B1，32的椭圆的标准方程．解析：解法一若焦点在x轴上，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，依题意，有4a2＝1，1a2＋34b2＝1.解得a2＝4，b2＝1.若焦点在y轴上，设椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，同理a2＝1，b2＝4，这与ab矛盾．故所求椭圆方程为x24＋y2＝1.解法二设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)．将A，B坐标代入得4m＝1，m＋34m＝1，解得m＝14，n＝1，故所求椭圆方程为x24＋y2＝1.探究二椭圆定义的应用[典例2]如图所示，已知椭圆的方程为x24＋y23＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．[解析]由已知a＝2，b＝3，所以c＝a2－b2＝4－3＝1，|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②②代入①解得|PF1|＝65，∴S△PF1F2＝12|PF1|·|F1F2|·sin120°＝12×65×2×32＝335，即△PF1F2的面积是353.椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．在求焦点三角形的面积时，若已知∠F1PF2，可利用S＝12absinC，把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．3．点P在椭圆x24＋y2＝1上，且PF1⊥PF2，求S△PF1F2.解析：∵点P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16，又PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12，∴|PF1||PF2|＝2，∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝1.4.如图所示，已知经过椭圆x225＋y216＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点．(1)求△AF1B的周长．(2)如果直线AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？解析：(1)由题意知，A，B在椭圆x225＋y216＝1上，故有|AF2|＋|AF1|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝AB，∴△AF1B的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a＝4×5＝20.∴△AF1B的周长为20.(2)如果直线AB不垂直于x轴，△AF1B的周长仍为20不变，因为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a与直线AB是否与x轴垂直无关，所以△AF1B的周长没有变化．探究三椭圆的标准方程及其应用椭程圆及的其标应准用方——已知两个焦点坐标，求椭圆标准方程—已知椭圆经过两点，求椭圆标准方程—求与已知椭圆共焦点的椭圆方程—参数a，b，c的范围问题5．写出适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)a＝5，c＝2；(2)经过P1(6，1)，P2(－3，－2)两点；(3)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，6)．解析：(1)由b2＝a2－c2，得b2＝25－4＝21.∴椭圆的标准方程为x225＋y221＝1或y225＋x221＝1.(2)解法一①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由已知，得6a2＋1b2＝13a2＋2b2＝1⇒a2＝9b2＝3，即所求椭圆的标准方程是x29＋y23＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为x2b2＋y2a2＝1(ab0)，由已知，得6b2＋1a2＝13b2＋2a2＝1⇒b2＝9a2＝3，与ab0矛盾，此种情况不存在．综上，所求椭圆的标准方程是x29＋y23＝1.解法二由已知，设椭圆的方程是Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)，故6A＋B＝13A＋2B＝1⇒A＝19B＝13，即所求椭圆的标准方程是x29＋y23＝1.(3)解法一方程9x2＋5y2＝45可化为x25＋y29＝1，则焦点是F1(0,2)，F2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，∵点M在椭圆上，∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝2－02＋6－22＋2－02＋6＋22＝(23－2)＋(23＋2)＝43，∴a＝23，即a2＝12，∴b2＝a2－c2＝12－4＝8，∴所求椭圆的标准方程为y212＋x28＝1.解法二由题意，知焦点F1(0,2)，F2(0，－2)，设所求椭圆的方程为y2λ＋4＋x2λ＝1(λ0)，将x＝2，y＝6代入，得6λ＋4＋4λ＝1，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)，∴所求椭圆的标准方程为y212＋x28＝1.6.如图，已知定点A(－2,0)，动点B是圆F：(x－2)2＋y2＝64上一点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方程．解析：连接PA(图略)，圆F：(x－2)2＋y2＝64的圆心为F(2,0)，半径R＝8.∵线段AB的垂直平分线交BF于点P，∴|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝R＝8|AF|＝4.由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆．依题意，有2a＝8，c＝2，∴b2＝12，∴动点P的轨迹方程为x216＋y212＝1.7．求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，6)的椭圆标准方程．解析：由9x2＋5y2＝45，得y29＋x25＝1，其焦点为F1(0,2)，F2(0，－2)．设所求椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，∵点M(2，6)在椭圆上，∴6a2＋4b2＝1.①又a2－b2＝4，②由②得a2＝b2＋4，代入①得b4－6b2－16＝0，可解得b2＝8或b2＝－2(舍去)，所以a2＝12.故所求椭圆方程为y212＋x28＝1.求解椭圆问题的四种常见错误[典例](1)设F1(－4,0)，F2(4,0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段(2)若方程x27－k＋y2k－5＝1表示椭圆，则实数k的取值范围是________．(3)已知椭圆的标准方程为x225＋y2m2＝1(m0)，并且焦距为6，则实数m为________．[解析](1)因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点M的轨迹是线段F1F2.(2)由题意可知7－k0，k－50，7－k≠k－5，所以k∈(5,6)∪(6,7)．(3)因为2c＝6，所以c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2，由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，所以m2＝16，又m0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25，a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m0，故m＝34.综上，实数m的值为4或34.[答案](1)D(2)(5,6)∪(6,7)(3)4或34[错因与防范]在求解椭圆问题时，要注意以下四种常见错误：(1)忽略椭圆定义中的条件2a|F1F2|；(2)忽略椭圆标准方程的隐含条件(a0，b0，a≠b)；(3)主观认为焦点在x轴上而忽略讨论焦点在y轴上的情况；(4)忽略对方程加限制条件．