2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入课件 新人教A版选修1-2

三数系的扩充与复数的引入模块复习提升课1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi←—――→一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)←—――→一一对应平面向量OZ→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi）（c－di）（c＋di）（c－di）＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．4．复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．3．z20在复数范围内有可能成立，例如：当z＝3i时z2＝－90.主题1复数的有关概念(1)设z是复数，则下列命题中的假命题是()A．若z2≥0，则z是实数B．若z20，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z20(2)复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，①z∈R？②z为虚数？【解】(1)选C.设z＝a＋bi(a，b∈R)，选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则ab＝0，a2≥b2.故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi0，则ab＝0，a2b2，则a＝0，b≠0，故z一定为虚数，正确．选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．选项D，若z为纯虚数，则a＝0，b≠0，则z2＝－b20，正确．(2)①因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以x2－3x－30，log2（x－3）＝0，x－30.解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.②因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以x2－3x－30，log2（x－3）≠0，x－30.解得x3＋212且x≠4，所以当x3＋212且x≠4时，z为虚数．在本例(2)中，是否存在实数x使复数z为纯虚数？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．解：因为一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0，且虚部不为0，所以log3（x2－3x－3）＝0，x2－3x－30，log2（x－3）≠0，x－30，无解．所以复数z不可能是纯虚数．复数相关概念的应用技巧(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．1.已知i是虚数单位，若(m＋i)2＝3－4i，则实数m的值为()A．－2B．±2C．±2D．2解析：选A.(m＋i)2＝(m2－1)＋2mi＝3－4i，由复数相等得m2－1＝3，2m＝－4，解得m＝－2，故选A.2．复数1－2＋i＋11－2i的虚部是()A．15iB．－15iC．15D．－15解析：选C.1－2＋i＋11－2i＝（1－2i）＋（－2＋i）（1－2i）（－2＋i）＝－1－i5i＝1－i－5＝－15＋i5.所以虚部为15.3．设复数z＝(1＋i)m2－(2＋4i)m－3＋3i.试求当实数m取何值时：(1)z是实数；(2)z是纯虚数；(3)z的实部与虚部相等．解：z＝(1＋i)m2－(2＋4i)m－3＋3i＝m2＋m2i－2m－4mi－3＋3i＝(m2－2m－3)＋(m2－4m＋3)i.(1)若z是实数，则有m2－4m＋3＝0，解得m＝1或m＝3.(2)若z是纯虚数，则有m2－2m－3＝0，m2－4m＋3≠0，解得m＝－1.(3)依题意有m2－2m－3＝m2－4m＋3，解得m＝3.主题2复数的四则运算(1)1－i（1＋i）4＋1＋i（1－i）4＝()A．－12B．12C．12iD．－12i(2)定义运算abcd＝ad－bc，则符合条件1-1zzi＝4＋2i的复数z为()A．3－iB．1＋3iC．3＋iD．1－3i(3)已知z1＝1－3i，z2＝6－8i，若1z＋1z1＝1z2，求z的值．【解】(1)选A.因为(1±i)2＝±2i，所以1－i（1＋i）4＋1＋i（1－i）4＝1－i（2i）2＋1＋i（－2i）2＝1－i－4＋1＋i－4＝－12.(2)选A.1-1zzi＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i，所以z＝4＋2i1＋i＝（4＋2i）（1－i）2＝4＋2－2i2＝3－i.(3)由z1＝1－3i得1z1＝11－3i＝110＋310i，又由z2＝6－8i得1z2＝16－8i＝350＋450i.则1z＝1z2－1z1＝350－110＋450－310i＝－125－1150i＝－2＋11i50.所以z＝－502＋11i＝－45＋225i.利用复数的四则运算求复数的一般思路(1)复数的加、减、乘法运算：满足多项式的加、减、乘法法则，利用法则后将实部与虚部分别写出即可，注意多项式乘法公式的运算．(2)复数的除法运算：主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简．1.（1＋i）3（1－i）2＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：选D.（1＋i）3（1－i）2＝（1＋i）2（1－i）2·(1＋i)＝1＋i2＋2i1＋i2－2i·(1＋i)＝－1－i.2．已知复数z满足iz＋i＝2－i，则z＝________．解析：由iz＋i＝2－i，得z＝i2－i－i＝i（2＋i）5－i＝25i－15－i＝－15－35i.答案：－15－35i3．若复数z＝(a－2)＋3i(a∈R)是纯虚数，则a＋i1＋ai＝________．解析：因为复数z＝(a－2)＋3i(a∈R)是纯虚数，所以a＝2，所以a＋i1＋ai＝2＋i1＋2i＝（2＋i）（1－2i）5＝45－35i.答案：45－35i主题3共轭复数与复数的模(1)设i是虚数单位，z－是复数z的共轭复数．若z·z－i＋2＝2z，则z等于()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i(2)已知复数z满足：|z|＝1＋3i－z，求（1＋i）2（3＋4i）22z的值．【解】(1)选A.设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝a－bi，又因为z·z－i＋2＝2z，所以(a＋bi)·(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，所以a2＋b2＝2b2＝2a，即a＝1b＝1.所以z＝1＋i.(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，而|z|＝1＋3i－z，即a2＋b2－1－3i＋a＋bi＝0，所以a2＋b2＋a－1＝0，b－3＝0，得a＝－4，b＝3，所以z＝－4＋3i.所以（1＋i）2（3＋4i）22z＝2i（－7＋24i）2（－4＋3i）＝24＋7i4－3i＝3＋4i.共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用一些结论简化解题过程，如z∈R⇔z＝z－等．1.若复数z满足2z＋z－＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i解析：选B.法一：(通性通法)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝a－bi.故2z＋z－＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i，所以3a＝3b＝－2，解得a＝1b＝－2，所以z＝1－2i.故选B.法二：(光速解法)设z＝a＋bi(a，b∈R)，由复数的性质可得z＋z－＝2a，故2z＋z－＝(z＋z－)＋z，故2z＋z－的虚部就是z的虚部，实部是z的实部的3倍．故z＝1－2i，故选B.2．z－是z的共轭复数．若z＋z－＝2，(z－z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝()A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i解析：选D.设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝a－bi，z＋z－＝2a＝2，故a＝1，(z－z－)i＝－2b＝2，故b＝－1，所以z＝1－i.3．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为z－，则|(1－z)·z－|＝________．解析：依题意得(1－z)·z－＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，则|(1－z)·z－|＝|－3＋i|＝（－3）2＋12＝10.答案：101．已知（1－i）2z＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：选D.验证各选项，只有z＝－1－i时，（1－i）2－1－i＝－2i（－1＋i）2＝1＋i.2．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a＋3i，z·z－＝4，则a＝()A．1或－1B．7或－7C．－3D．3解析：选A.因为z＝a＋3i，所以z－＝a－3i，则zz－＝(a＋3i)(a－3i)＝a2＋3＝4，解得a＝1或－1.3．复数2＋i1－2i的共轭复数是________．解析：因为2＋i1－2i＝（2＋i）（1＋2i）（1－2i）（1＋2i）＝2＋i＋4i－25＝i，所以2＋i1－2i的共轭复数为－i.答案：－i4．设z2＝z1－iz1－(其中z1－表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________．解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝z1－iz1－＝a＋bi－i(a－bi)＝(a－b)－(a－b)i，因为z2的实部是－1，即a－b＝－1，所以z2的虚部为1.答案：15．复数z＝（1＋i）2＋3（1－i）2＋i，若z2＋az0，求纯虚数a.解：z＝2i＋3－3i2＋i＝1－i.因为a为纯虚数，设a＝mi(m∈R，m≠0)，则z2＋az＝(1－i)2＋mi1－i＝－2i＋mi－m2＝－m2＋m2－2i0，即－m20，m2－2＝0，所以m＝4，所以a＝4i.6．已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，求|z1＋z2|.解：z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，所以5x－5y＝5，－3x＋4y＝－3，解得y＝0，x＝1，所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，所以|z1＋z2|＝2.