2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课

3．1数系的扩充和复数的概念3．1.1数系的扩充和复数的概念第三章数系的扩充与复数的引入1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．第三章数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念(1)复数①定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做___________，满足i2＝_____．②表示方法：复数通常用字母z表示，即___________________，这一表示形式叫做复数的代数形式．a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．虚数单位－1z＝a＋bi(a，b∈R)(2)复数集①定义：__________所成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母C表示．2．复数的分类(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)______（b＝0）______（b≠0）纯虚数______非纯虚数______全体复数实数虚数a＝0a≠0(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3．复数相等的充要条件设a、b、c、d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔___________________，a＋bi＝0⇔____________．a＝c且b＝da＝b＝01．数系扩充的脉络自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系．2．虚数单位i性质的两个关注点(1)i2＝－1的理解：并没有规定i＝±－1即i＝－1或i＝－－1.(2)i与实数之间可以进行四则运算：这条性质是数系扩充的原则之一，这里只提到加、乘运算，没提到减、除运算，并不是对减法与除法不成立，而是为了与后面讲复数的四则运算时，只对加法、乘法法则作出规定，而把减法、除法作为加法、乘法的逆运算的做法相一致．3．两个复数相等的充要条件(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．()(2)复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2.()(3)复数z＝bi是纯虚数．()(4)实数集与复数集的交集是实数集．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(1＋3)i的实部与虚部分别是()A．1，3B．1＋3，0C．0，1＋3D．0，(1＋3)i答案：C若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝()A．－1B．1C．±1D．不存在答案：C若x，y为实数且满足(2x－y)i＋(x－y)＝3＋2i，则x＝________，y＝________．解析：由题意知2x－y＝2，x－y＝3.解得x＝－1，y＝－4.答案：－1－4探究点1复数的概念下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R，且ab，则a＋ib＋i；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集．其中正确的是()A．①B．②C．③D．④【解析】对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误．两个虚数不能比较大小，则②错误．对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，则③错误．显然，④正确．故选D.【答案】D(1)一个数的平方为非负数在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上．(2)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．1.若全集C＝{复数}，Q＝{有理数}，P＝{虚数}，则(∁CQ)∪(∁CP)是()A．CB．无理数集C．QD．R解析：选A.在全集C中，有理数集Q的补集是虚数集P和无理数集；虚数集P的补集是实数集，所以(∁CQ)∪(∁CP)是全集C.2．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．解析：由题意得：a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±2，b＝5.答案：±2，5探究点2复数的分类当m为何实数时，复数z＝m2－m－6m＋3＋(m2－2m－15)i，(1)是虚数；(2)是纯虚数．【解】(1)当m＋3≠0，m2－2m－15≠0，即m≠5且m≠－3时，z是虚数．(2)当m2－m－6m＋3＝0，m2－2m－15≠0，即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．1．本例中若条件不变，当m为何值时，z为实数？解：当m＋3≠0，m2－2m－15＝0，即m＝5时，z是实数．2．本例中条件不变，若z0，求m的值．解：因为z0，所以z为实数，需满足m2－m－6m＋30，m2－2m－15＝0，解得m＝5.复数的分类问题的解决方法(1)对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类问题，要理清其分类的充要条件：①复数z是实数⇔b＝0；②复数z为虚数⇔b≠0；③复数z为纯虚数⇔a＝0，且b≠0.(2)利用复数代数形式进行分类时，主要依据虚部和实部满足的条件，求参数时可由此列出方程(组)，但必须要全面考虑所有条件，不能遗漏．1.已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)若复数z是实数，求实数m的值；(2)若复数z是虚数，求实数m的取值范围；(3)若复数z是纯虚数，求实数m的值；(4)若复数z是0，求实数m的值．解：(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，所以m＝5或－3.(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，所以m≠5且m≠－3.所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠－3}．(3)当m2－2m－15≠0，m2＋5m＋6＝0时，复数z是纯虚数，所以m＝－2.(4)当m2－2m－15＝0，m2＋5m＋6＝0时，复数z是0，所以m＝－3.2．若复数z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m－2＋(m2－5m)i，m为实数，且z1z2，求实数m的取值集合．解：因为z1z2，所以m3＋3m2＋2m＝0m2－5m＝0m2＋14m－2，解得m＝0，所以实数m的取值集合为{0}．探究点3复数相等(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值；(2)已知a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，求实数a的值．【解】(1)由复数相等的充要条件，得x＋y＝0，y＝x＋1，解得x＝－12，y＝12.(2)因为a，m∈R，所以由a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，可得a2＋am＋2＝0，2a＋m＝0，解得a＝2，m＝－22或a＝－2，m＝22，所以a＝±2.复数相等的充要条件(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．1.(2018·济宁高二检测)已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝()A．2B．3C．－3D．9解析：选B.因为z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，且z1＝z2，所以有a＝3a2－7＝2，解得a＝3.故选B.2．已知A＝{1，2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．解：由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，所以a2－3a－1＝3，a2－5a－6＝0，即a＝4或a＝－1，a＝6或a＝－1，所以a＝－1.1．下列说法中正确的个数是()①如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等；②复数a＋i与b＋3i(a，b∈R)不可能相等；③虚数1＋2ai与1＋3ai(a∈R)不可能相等．A．0B．1C．2D．3解析：选D.两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等，故①正确；②中两个复数的虚部不相等，所以这两个复数不可能相等，②正确；1＋2ai与1＋3ai(a∈R)均为虚数，所以a≠0，所以1＋2ai与1＋3ai(a∈R)不可能相等，③正确．2．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为()A．－1B．2C．1D．－1或2解析：选D.因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.3．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是________．解析：由已知可以得到a22a＋3，即a2－2a－30，解得a3或a－1，因此，实数a的取值范围是{a|a3或a－1}．答案：{a|a3或a－1}4．求适合方程xy－(x2＋y2)i＝2－5i的实数x，y的值．解：由复数相等的条件可知：xy＝2，－（x2＋y2）＝－5，解得x＝1，y＝2或x＝－1，y＝－2或x＝2，y＝1或x＝－2，y＝－1.知识结构深化拓展1.虚数为什么不能比较大小引入虚数单位i后，规定i2＝－1，但i与0的大小关系不能确定．理由如下：若i0，则2ii，两边同乘i，得2i2i2，即－2－1，与实数系中数的大小规定相矛盾；若i0，则－2－1⇒－2i－i⇒－2i·i－i·i⇒21，与实数系中数的大小规定也是矛盾的．故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分．深化拓展2．复数m＋ni的实部、虚部不一定是m、n，只有当m∈R，n∈R时，m、n才是该复数的实部、虚部．3．复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解.