2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变形 3 第一课时 二倍角的三角函数课件 北师大版必

1．二倍角的正弦公式是什么？2．二倍角的余弦公式是什么？3．二倍角的正切公式是什么？§3二倍角的三角函数第一课时二倍角公式及其应用一、预习教材·问题导入二倍角的公式二、归纳总结·核心必记[点睛](1)成立的条件：在公式S2α，C2α中，角α可以为任意角，T2α中则只有当α≠kπ＋π2且α≠kπ2＋π4(k∈Z)时才成立．(2)倍角公式不局限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、α是α2的二倍、3α是3α2的二倍等都是适用的．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α使得sin2α＝2sinα，tan2α＝2tanα()(2)cos215°－sin215°＝2cos215°－1＝1－2sin215°()2．若sinα2＝33，则cosα的值为()A．－23B．－13C.13D.23√√解析：选C因为sinα2＝33，所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2×332＝13.三、基本技能·素养培优3．已知α为第三象限角，且cosα＝－55，则tan2α的值为()A．－43B.43C．－34D．－2解析：选A∵α为第三象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－255，∴tanα＝2，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝41－4＝－43.4．sin22.5°cos202.5°＝________.解析：sin22.5°cos202.5°＝sin22.5°·(－cos22.5°)＝－12sin45°＝－24.答案：－24[典例]求下列各式的值：(1)sinπ12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan150°1－tan2150°；(4)1sin10°－3cos10°；(5)cos20°cos40°cos80°.考点一给角求值[解](1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.(4)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4sin30°cos10°－cos30°sin10°2sin10°cos10°＝4sin20°sin20°＝4.(5)原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.[类题通法]根据三角函数式的特征，经过适当变形，同时变换出特殊角，进而利用公式，获得三角函数式的值，在变形中一定要从整体上考虑式子的特征．[针对训练]求下列各式的值．(1)sinπ8sin3π8；(2)cos215°－cos275°；(3)2cos25π12－1；(4)tan30°1－tan230°.解：(1)∵sin3π8＝sinπ2－π8＝cosπ8，∴sinπ8sin3π8＝sinπ8cosπ8＝12·2sinπ8cosπ8＝12sinπ4＝24.(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos30°＝32.(3)2cos25π12－1＝cos5π6＝－32.(4)tan30°1－tan230°＝12×2tan30°1－tan230°＝12tan60°＝32.[典例]化简：(1)cos2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋sin(θ＋90°)cos(90°－θ)；(2)11－tanθ－11＋tanθ.考点二三角函数式的化简[解](1)原式＝1＋cos2θ＋30°2＋1－cos2θ－30°2＋cosθsinθ＝1＋12(cos2θcos30°－sin2θsin30°－cos2θ·cos30°－sin2θsin30°)＋12sin2θ＝1－sin2θsin30°＋12sin2θ＝1.(2)原式＝1＋tanθ－1－tanθ1－tanθ1＋tanθ＝tanθ＋tanθ1－tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝tan2θ.[类题通法]三角函数式化简的四个方向三角函数式的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．[针对训练]化简：2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α.解：法一：原式＝cos2α－sin2α2×1－tanα1＋tanαsinπ4cosα＋cosπ4sinα2＝cos2α－sin2α1＋tanα1－tanαcosα＋sinα2＝cos2α－sin2α1＋sinαcosα1－sinαcosαcosα＋sinα2＝1.法二：原式＝cos2α2tanπ4－αcos2π4－α＝cos2α2sinπ4－αcosπ4－α＝cos2αsinπ2－2α＝cos2αcos2α＝1.[典例]已知x∈π4，π2，sinπ4－x＝－35，求cos2x的值．[解][法一变角求值]cos2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x，∵sinπ4－x＝－35，x∈π4，π2，∴π4－x∈－π4，0，cosπ4－x＝45，∴cos2x＝2×－35×45＝－2425.考点三给值求值[法二变结构求值]由已知条件得cosx－sinx＝－325，将此式两边平方得2sinxcosx＝725，∴sin2x＝725.∵x∈π4，π2，∴2x∈π2，π.∴cos2x＝－1－sin22x＝－1－7252＝－2425.[类题通法]解决上面典例要注意角“2x”与“π4－x”的变换方法，即cos2x＝sinπ2－2x＝sin2π4－x；常见的此类变换，还有：(1)sin2x＝cosπ2－2x＝cos2π4－x；(2)sin2x＝－cosπ2＋2x＝－cos2π4＋x；(3)cos2x＝sinπ2＋2x＝sin2π4＋x.[针对训练]已知sinx＋π4sinπ4－x＝16，x∈π2，π，求sin4x，cos4x，tan4x的值．解：法一：(变角求值)∵sinx＋π4sinπ4－x＝sinπ4＋xcosπ2－π4－x＝sinx＋π4cosπ4＋x＝12sin2x＋π2＝12cos2x＝16，∴cos2x＝13.∵x∈π2，π，∴2x∈(π，2π)．∴sin2x＝－223.∴sin4x＝2sin2xcos2x＝－429.∴cos4x＝2cos22x－1＝2×19－1＝－79.∴tan4x＝sin4xcos4x＝427.法二：(变结构求值)由sinπ4＋xsinπ4－x＝16，得22(sinx＋cosx)×22(cosx－sinx)＝16，∴－sin2x＋cos2x＝13，即cos2x＝13.下同解法一．