2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变形 3 第二课时 半角公式及其应用课件 北师大版必

1、半角的正弦、余弦、正切公式分别是什么？第二课时半角公式及其应用一、预习教材·问题导入半角公式(1)sinα2＝；(2)cosα2＝；(3)tanα2＝＝＝.________________________________________±1－cosα2±1＋cosα2_____________±1－cosα1＋cosαsinα1＋cosα1－cosαsinα二、归纳总结·核心必记[点睛](1)半角的正弦、余弦、正切公式都可以用单角的余弦来表示，它们是二倍角余弦公式的推论．(2)这里要特别注意公式中根号前的双重符号，它取决于α2所属的象限，如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号，若给出了角α的具体取值范围，则先求α2的取值范围，选择合适的符号．1.判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α∈(0，π)，则cosα2＝±1＋cosα2()(2)若α∈π2，π，则tanα2＝1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα()×√三、基本技能·素养培优A.105B．－105C.155D．－155解析：选D∵5π2＜θ＜3π，∴5π4＜θ2＜。

2、3π2，∴sinθ2＜0.由cosθ＝1－2sin2θ2，得sinθ2＝－1－cosθ2＝－1＋15×12＝－155.2．已知cosθ＝－15，5π2＜θ＜3π，那么sinθ2等于()3．化简2＋cos2－sin21的结果是()A．－cos1B．cos1C.3cos1D．－3cos1解析：选C原式＝2＋1－2sin21－sin21＝3－3sin21＝31－sin21＝3cos21＝3cos1.4．tanπ12＝________.解析：法一：∵π12＝12×π6，∴tanπ12＝1－cosπ61＋cosπ6＝1－321＋32＝2－3.法二：tanπ12＝sinπ61＋cosπ6＝121＋32＝2－3.答案：2－3[典例]已知sinα＝－45，πα3π2，求sinα2，cosα2，tanα2的值．考点一求值问题[解]∵πα3π2，sinα＝－45，∴cosα＝－35，且π2α23π4，∴sinα2＝1－cosα2＝255，cosα2＝－1＋cosα2＝－55，tanα2＝sinα2cosα2＝－2.[类题通法]已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值的一般思路(1)先化简已。

3、知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．[针对训练]已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝45，sinβ＝1213，求cosα－β2与tanα－β2的值．解：因为α为钝角，β为锐角，sinα＝45，sinβ＝1213，所以cosα＝－35，cosβ＝513.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－35×513＋45×1213＝3365.因为π2απ，且0βπ2，所以0α－βπ，即0α－β2π2，所以cosα－β2＝1＋cosα－β2＝1＋33652＝76565.由0α－βπ，cos(α－β)＝3365，得sin(α－β)＝1－cos2α－β＝5665.所以tanα－β2＝sinα－β1＋cosα－β＝56651＋3365＝47.[典例]化简：1＋sinα＋cosαsinα2－cosα22＋2cosα(πα2π)．[解]原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2sinα2－cosα22·2cos2α2考点二三角函数式的化简＝。

4、2cosα2cosα2＋sinα2sinα2－cosα22cosα2＝cosα2－cosαcosα2.又∵πα2π，∴π2α2π，∴cosα20，∴原式＝cosα2·－cosα－cosα2＝cosα.[类题通法]化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．[针对训练]1．[变条件]若本例中式子变为：1－sinα－cosαsinα2＋cosα22－2cosα(－πα0)，求化简后的式子．解：原式＝2sin2α2－2sinα2cosα2sinα2＋cosα22·2sin2α2＝2sinα2sinα2－cosα2sinα2＋cosα22sinα2＝sinα2sin2α2－cos2α2sinα。

5、2＝－sinα2cosαsinα2.因为－πα0，所以－π2α20，所以sinα20，所以原式＝－sinα2cosα－sinα2＝cosα.2．[变条件]若本例中的式子变为：1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα，πα3π2，求化简后的式子．解：原式＝sinα2＋cosα222cosα2－2sinα2＋sinα2－cosα222cosα2＋2sinα2，∵πα3π2，∴π2α23π4.∴cosα20，sinα20.∴原式＝sinα2＋cosα22－2sinα2＋cosα2＋sinα2－cosα222sinα2－cosα2＝－sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22＝－2cosα2.考点三三角恒等变形的综合应用[典例]已知函数f(x)＝2asinωxcosωx＋23cos2ωx－3(a0，ω0)的最大值为2.x1，x2是集合M＝{x∈R|f(x)＝0}中的任意两个元素，|x1－x2|的最小值为π2.(1)求a。

6、，ω的值；(2)若f(α)＝23，求sin5π6－4α的值．解：(1)f(x)＝asin2ωx＋3cos2ωx＝a2＋3sin(2ωx＋φ)，其中tanφ＝3a.由题意知a2＋3＝2，a0，则a＝1.f(x)的最小正周期为π，则2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋π3.由f(α)＝23知2sin2α＋π3＝23，即sin2α＋π3＝13.所以sin5π6－4α＝sin3π2－4α＋2π3＝－cos4α＋2π3＝－1＋2sin22α＋π3＝－1＋2×132＝－79.[类题通法]应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤(1)运用和、差、倍角公式化简；(2)统一化成f(x)＝asinωx＋bcosωx＋k的形式；(3)利用辅助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质．[针对训练]已知三点A，B，C的坐标分别为A(cosα，sinα)α≠kπ4，k∈Z，B(3,0)，C(0,3)，若AB―→。

7、·AC―→＝－1，求1＋sin2α－cos2α1＋tanα的值．解：由题意，得AB―→＝(3－cosα，－sinα)，AC―→＝(－cosα，3－sinα)．∵AB―→·AC―→＝－1，∴(cosα－3)·cosα＋sinα(sinα－3)＝－1.整理，得sinα＋cosα＝23.∴1＋2sinαcosα＝49，∴2sinαcosα＝－59.∴1＋sin2α－cos2α1＋tanα＝2sin2α＋2sinαcosα1＋sinαcosα＝2sinαcosαsinα＋cosαsinα＋cosα＝2sinαcosα＝－59.。