2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式目标定位重点难点1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系2.熟记两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活应用重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活应用难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的变形及灵活应用1．两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦________sin(α＋β)＝_________________α，β∈R两角差的正弦________sin(α－β)＝_________________α，β∈RS(α＋β)sinαcosβ＋cosαsinβS(α－β)sinαcosβ－cosαsinβ2．两角和与差的正切公式cosαcosβ＋sinαsinβsinαcosβ－cosαsinβtanα－tanβ1＋tanαtanβtanα＋tanβ1－tanαtanβcosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβ1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于()A．12B．33C．22D．32【答案】A2．1－tan15°1＋tan15°＝()A．12B．3C．33D．32【答案】C3．cos36°cos24°－sin24°sin36°＝______.【答案】124．已知tanα＝1，tanβ＝2，则tan(α＋β)＝______.【答案】－3三角函数式的化简求值【例1】(1)计算：cos105°；(2)化简：sin(α＋β)cosα－12[sin(2α＋β)－sinβ]．【解题探究】(1)105°――→拆角60°＋45°或150°－45°(2)将2α＋β写成“α＋β＋α”；将β写成“α＋β－α”，再按公式展开化简．【解析】(1)方法一：cos105°＝cos(60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝12×22－32×22＝2－64.方法二：cos105°＝cos(150°－45°)＝cos150°cos45°＋sin150°sin45°＝－32×22＋12×22＝2－64.(2)原式＝sin(α＋β)cosα－12{sin[α＋(α＋β)]－sin[(α＋β)－α]}＝sin(α＋β)cosα－12[sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)－sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]＝sin(α＋β)cosα－12×2sinαcos(α＋β)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β－α)＝sinβ.【方法规律】解决给角化简求值问题的策略(1)注意分析式子的结构特点，合理选择正余弦的和差公式．(2)注意公式逆用过程中诱导公式的应用．(3)注意非特殊角与特殊角间的联系及将特殊值转化为特殊角三角函数．(4)注意对角的变换，即合理拆角或凑角．化简或求值：(1)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)；(2)sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosα＋β.【解析】(1)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cosα＝12sinα＋32cosα＋32cosα－12sinα－3cosα＝0.(2)原式＝sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ＝－sinαcosβ－cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝－sinα－βcosα－β＝－tan(α－β)＝tan(β－α)．给值求值【例2】(1)已知α，β为锐角，cosα＝45，tan(α－β)＝－13，则tanβ的值为______；(2)已知tanα＋π12＝2，tanβ－π3＝22，则tanα＋β－π4的值为______．【解题探究】(1)将β用已知角表示，即β＝α－(α－β)，求出sinα，进而求出tanα的值．(2)α＋β－π4＝α＋π12＋β－π3.【答案】(1)139(2)－2【解析】(1)∵α为锐角，cosα＝45，∴tanα＝34.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tanα－β1＋tanαtanα－β＝34－－131＋34×－13＝139.(2)tanα＋β－π4＝tanα＋π12＋β－π3＝tanα＋π12＋tanβ－π31－tanα＋π12tanβ－π3＝2＋221－2×22＝－2.【特别提醒】给值求值的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值．(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝35，β是第三象限角，则tanβ＋π4＝______.【答案】7【解析】由sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝35，得sin(α－β－α)＝sin(－β)＝35，∴sinβ＝－35.∵β是第三象限角，∴cosβ＝－45，tanβ＝34，则tanβ＋π4＝tanβ＋11－tanβ＝34＋11－34＝7.给值求角中的解题误区【示例】已知tanα＝3(1＋m)，3(tanαtanβ＋m)＋tanβ＝0且α，β都是锐角，则α＋β＝______.【错解】π3＋kπ(k∈Z)【错因】忽视角α，β都是锐角，由tan(α＋β)＝3，而得出α＋β＝kπ＋π3(k∈Z)的错误．【正解】由3(tanαtanβ＋m)＋tanβ＝0，得tanβ＝－3tanαtanβ－3m.又tanα＝3(1＋m)＝3＋3m，所以3m＝tanα－3.所以tanα＋tanβ＝3(1－tanαtanβ)．所以tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝tan(α＋β)＝3.又0απ2，0βπ2，所以0α＋βπ.所以α＋β＝π3.【答案】π3【警示】已知三角函数值求角的方法及注意事项(1)给值求角问题一般是先根据题设条件求角的某种三角函数值．(2)解题中要特别注意角的范围，必要时借助三角函数值缩小角的范围．1．对两角和与差正弦公式的理解(1)和差角的正弦公式不能按分配律展开，即sin(α＋β)≠sinα＋sinβ，如sinπ3＋π6≠sinπ3＋sinπ6.(2)牢记公式并能熟练地将左、右两边互化．例如化简sin20°cos50°－sin70°cos40°，能迅速观察出此式等于sin(20°－50°)＝sin(－30°)＝－sin30°＝－12.(3)公式中α，β有一个角为π2的整数倍时，利用诱导公式较为简便．2．两角和的正切公式的常用变形形式(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．(2)1－tanαtanβ＝tanα＋tanβtanα＋β.(3)tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtanα＋β.(4)tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)．1．(2019年江西上饶模拟)sin140°cos10°＋cos40°·sin350°＝()A．32B．－32C．12D．－12【答案】C【解析】sin140°cos10°＋cos40°sin350°＝sin40°cos10°－cos40°sin10°＝sin(40°－10°)＝sin30°＝12.故选C．2．(2019年四川成都期末)若α，β∈π2，π，且sinα＝255，cosβ＝－22，则sin(α＋β)＝()A．31010B．－31010C．1010D．－1010【答案】B【解析】由α，β∈π2，π，且sinα＝255，cosβ＝－22，可得cosα＝－55，sinβ＝22，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝255×－22＋－55×22＝－31010.3．cos(x＋2y)＋2sin(x＋y)siny可化简为()A．cosxB．sinxC．cos(x＋y)D．cos(x－y)【答案】A【解析】原式＝cos[(x＋y)＋y]＋2sin(x＋y)siny＝cos(x＋y)cosy－sin(x＋y)siny＋2sin(x＋y)siny＝cos(x＋y)cosy＋sin(x＋y)siny＝cosx.4．(2018年新课标Ⅱ)已知tanα－5π4＝15，则tanα＝________.【答案】32【解析】∵tanα－5π4＝tanα－π4＝15，∴tanα＝tanα－π4＋π4＝tanα－π4＋tanπ41－tanα－π4tanπ4＝15＋11－15×1＝32.