2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P128～P131的内容，回答下列问题．(1)把公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ中的β用－β代替，结果如何？提示：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.(2)由公式C(α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？提示：可以，sin(α＋β)＝cosπ2－（α＋β）＝cosπ2－α－β＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(3)如何由sin(α＋β)的公式推出sin(α－β)的公式？提示：以－β代替sin(α＋β)中的β，即可得sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.(4)如何用tanα和tanβ表示tan(α＋β)和tan(α－β)?提示：①tan(α＋β)＝sin（α＋β）cos（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ.②tan(α－β)＝sin（α－β）cos（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.二、归纳总结·核心必记1.两角和与差的余弦公式三、综合迁移·深化思维(1)sin(α＋β)＝sinα＋sinβ能否成立？若成立，在什么情况下成立？提示：不一定成立，当α＝2kπ或β＝2kπ或α＝β＝kπ，k∈Z时成立．(2)两角和与差的正切公式对任意α，β均成立吗？提示：不是的．在两角和的正切公式中，使用条件是：α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)；在两角差的正切公式中，使用条件是：α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)．探究点一给角求值问题[典例精析]1．化简求值：(1)sin13°cos17°＋sin77°cos73°；(2)sinπ12－3cosπ12；(3)1－tan15°1＋tan15°；(4)tan72°－tan42°－33tan72°tan42°.[解](1)原式＝sin13°cos17°＋sin(90°－13°)·cos(90°－17°)＝sin13°cos17°＋cos13°sin17°＝sin(13°＋17°)＝sin30°＝12.(2)原式＝212sinπ12－32cosπ12＝2sinπ12cosπ3－cosπ12sinπ3＝2sinπ12－π3＝－2sinπ4＝－2.(3)原式＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33.(4)∵tan30°＝tan(72°－42°)＝tan72°－tan42°1＋tan72°•tan42°，∴tan72°－tan42°＝tan30°(1＋tan72°tan42°)．∴原式＝tan30°(1＋tan72°tan42°)－33tan72°tan42°＝33.[类题通法]1．解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．2．利用公式T(α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tanπ4”，“3＝tanπ3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．[针对训练]1．求值：(1)sin15°＋cos15°；(2)sin119°sin181°－sin91°sin29°；(3)tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°.解：(1)法一：sin15°＋cos15°＝2sin15°·22＋cos15°·22＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°＝62.法二：sin15°＋cos15°＝2cos15°·22＋sin15°·22＝2(cos45°cos15°＋sin45°sin15°)＝2cos(45°－15°)＝2cos30°＝62.(2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin29°＝cos29°(－sin1°)－cos1°sin29°＝－(sin29°cos1°＋cos29°sin1°)＝－sin(29°＋1°)＝－sin30°＝－12.(3)原式＝tan10°tan20°＋tan60°(tan10°＋tan20°)＝tan10°tan20°＋3(tan10°＋tan20°)＝tan10°tan20°＋3tan30°(1－tan10°tan20°)＝1.探究点二给值（式）求角问题[典例精析]2．已知α，β均为锐角，且sinα＝55，cosβ＝1010，求α－β的值．[解]∵α，β均为锐角，且sinα＝55，cosβ＝1010，∴cosα＝255，sinβ＝31010.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22.又∵α，β均为锐角，∴－π2α－βπ2.又∵sinαsinβ，∴αβ，即α－β0.从而－π2α－β0，故α－β＝－π4.[类题通法]给值求角问题的解题策略(1)解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角．至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内．(2)选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是0，π2，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是－π2，π2，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数．[针对训练]2．已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β.解：tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan（α－β）＋tanβ1－tan（α－β）tanβ＝12－171－12×－17＝13，而α∈(0，π)，∴α∈0，π2.∵tanβ＝－17，β∈(0，π)∴β∈π2，π，∴－πα－β0.而tan(α－β)＝120，∴－πα－β－π2，∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝tan（α－β）＋tanα1－tan（α－β）tanα＝12＋131－12×13＝1.∴2α－β＝－3π4.探究点三条件求值问题[典例精析]3．已知π4α3π4，0βπ4，cosπ4＋α＝－35，sin(3π4＋β)＝513.(1)求sin(α＋β)的值；(2)求cos(α－β)的值．[解](1)∵π4α3π4，π2π4＋απ，∴sinπ4＋α＝1－cos2π4＋α＝45.∵0βπ4，3π43π4＋βπ，∴cos3π4＋β＝－1－sin23π4＋β＝－1213，∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sinπ4＋α＋3π4＋β＝－[sin(π4＋α)cos(3π4＋β)＋cos(π4＋α)·sin3π4＋β]＝－45×－1213＋－35×513＝6365.(2)由(1)可知，sinπ4＋α＝45，cos3π4＋β＝－1213，∴sinπ4＋α－3π4＋β＝sinπ4＋αcos3π4＋β－cosπ4＋αsin3π4＋β＝45×－1213－－35×513＝－3365.又sinπ4＋α－3π4＋β＝sin（α－β）－π2＝－cos(α－β)，从而cos(α－β)＝3365.[类题通法]给值求值的方法(1)直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝tan45°，1＝sin90°等.1，3，33，12，22等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用．(3)角的代换：将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换．常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]＝12[(α＋β)－(β－α)]，α＋β2＝α－β2－α2－β，α＋β＝(2α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)等．[针对训练]3．已知cosα＝45，α∈(0，π)，tan(α－β)＝12，求tanβ及tan(2α－β)．解：∵cosα＝450，α∈(0，π)，∴α∈0，π2，sinα0.∴sinα＝1－cos2α＝1－452＝35，∴tanα＝sinαcosα＝3545＝34.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tan（α－β）1＋tanα·tan（α－β）＝34－121＋34×12＝211，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tan（α－β）1－tanα·tan（α－β）＝34＋121－34×12＝2.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，难点是公式的运用．2．要掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的三个应用(1)解决给角求值问题，见探究点一；(2)解决给值(式)求角问题，见探究点二；(3)解决条件求值问题，见探究点三.3．本节课的易错点是，解决给值(式)求角问题时，易忽视角的范围而造成解题错误.4．本节课要牢记常见角的变换α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝β－(β－α)；α＝α＋π4－π4；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；α＋β＝(2α＋β)－α；2α＝(α＋β)＋(α－β)等．