2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示3.1.5空间向量运算的坐标表示目标定位重点难点1.了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解2.理解空间向量的坐标表示，掌握空间向量运算的坐标表示3.掌握空间向量的模、夹角公式与两点间距离公式的坐标表示，会判断向量的共线与垂直重点：空间向量的坐标运算难点：空间向量的平行和垂直条件，两个向量的夹角与向量模的坐标计算公式1．空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c________，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝___________，其中__________叫作空间的一个基底，________都叫作基向量．2．空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底三个有公共起点O且__________的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．不共面xa＋yb＋zc{a，b，c}a，b，c两两垂直(2)空间向量的坐标表示以e1，e2，e3的____________为原点，分别以____________的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么，对于空间任意一个向量p，一定可以把它________，使它的________与原点O重合，得到向量OP→＝p，由空间向量基本定理，可知存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝____________.把________称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．公共起点Oe1，e2，e3平移起点xe1＋ye2＋ze3x，y，z3．空间向量运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a＋b＝_______________________；(2)a－b＝_______________________；(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；(4)a·b＝________________；(5)a∥b⇔____________________________________；(6)a⊥b⇔________________＝0.(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a1b1＋a2b2＋a3b34．几个重要公式(1)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB→＝_____________________，即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标．(2)模长公式：若a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝a·a＝____________.(x2－x1，y2－y1，z2－z1)终点起点a21＋a22＋a23(3)夹角公式：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝_______＝__________________________.(4)两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dAB＝|AB→|＝___________________________.a·b|a||b|a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23x2－x12＋y2－y12＋z2－z121．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p⇒/q，q⇒p.2．已知ABCD为平行四边形且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为()A.72，4，－1B．(2,3,1)C．(－3,1,5)D．(5,13，－3)【答案】D【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB→＝DC→.设D坐标为(x，y，z)，则(2，－5,1)－(4,1,3)＝(3,7，－5)－(x，y，z)⇒(x，y，z)＝(5,13，－3)．3．已知向量a＝(1,1，－2)，b＝2，1，1x，若a·b≥0，则实数x的取值范围为()A.0，23B．(－∞，0)∪23，＋∞C.0，23D．(－∞，0)∪23，＋∞【答案】D【解析】a·b＝2＋1－2x≥0，即3x－2x≥0，解得x0或x≥23.故选D.4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为89，则λ＝________.【答案】－2或255【解析】由已知得89＝a·b|a||b|＝2－λ＋45＋λ2·9，所以85＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝255.空间向量基本定理的理解【例1】已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA→＝e1＋2e2－e3，OB→＝－3e1＋e2＋2e3，OC→＝e1＋e2－e3，试判断{OA→，OB→，OC→}能否作为空间的一个基底？【解题探究】判断OA→，OB→，OC→是否共面．解：假设OA→，OB→，OC→共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使OA→＝xOB→＋yOC→成立．∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面．∵－3x＋y＝1，x＋y＝2，2x－y＝－1无解．即不存在实数x，y，使OA→＝xOB→＋yOC→成立，∴OA→，OB→，OC→不共面．故{OA→，OB→，OC→}能作为空间的一个基底．判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的向量组有________．【答案】②③④【解析】如图，设a＝AB→，b＝AA1→，c＝AD→，则x＝AB1→，y＝AD1→，z＝AC→，a＋b＋c＝AC1→.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因为x＝a＋b，所以a，b，x共面，故不能作为基底．用坐标表示已知向量【例1】已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点且PA＝AD.求MN→的坐标．【解题探究】建立适当的空间直角坐标系，将MN→进行正交分解．【解析】(方法一)以A为原点，DA，AB，AP所在直线为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图，设x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k.∵MN→＝MA→＋AP→＋PN→＝MA→＋AP→＋12PC→＝MA→＋AP→＋12(PA→＋AD→＋DC→)＝－12j＋k＋12(－k－i＋j)＝－12i＋12k.∴MN→＝－12，0，12.(方法二)如上图所示的空间直角坐标系．MN→＝MA→＋AP→＋PN→，①MN→＝MB→＋BC→＋CN→.②M，N分别为AB，PC的中点，由①＋②，得2MN→＝AP→＋BC→＝k－i，∴MN→＝12(k－i)＝－12i＋12k.∴MN→＝－12，0，12.空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线，建立的空间直角坐标系不同，得到的坐标也不同，故本题的答案不唯一．2．在直三棱柱ABOA1B1O1中，∠AOB＝π2，|AO|＝4，|BO|＝2，|AA1|＝4，D为A1B1的中点，则在如右图所示的空间直角坐标系中，DO→的坐标是________，A1B→的坐标是________．【答案】(－2，－1，－4)(－4,2，－4)【解析】依题意，A1(4,0,4)，B(0,2,0)，B1(0,2,4)，O(0,0,0)，所以点D的坐标是(2,1,4)，所以DO→＝(－2，－1，－4)，A1B→＝(－4,2，－4)．【例3】已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，求p，q，p·q.【解题探究】利用空间向量的坐标运算法则计算即可．解：p＝a－b＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)．q＝a＋2b－c＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)．p·q＝(1,0，－1)·(0,3,1)＝－1.空间向量的坐标运算(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外．(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．3．已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点P的坐标，使得：(1)OP→＝12(AB→－AC→)；(2)AP→＝12(AB→－AC→)．解：∵AB→＝(2,6，－3)，AC→＝(－4,3,1)，∴AB→－AC→＝(6,3，－4)．(1)OP→＝12(6,3，－4)＝3，32，－2，则点P的坐标为3，32，－2.(2)设点P的坐标为(x，y，z)，则AP→＝(x－2，y＋1，z－2)．∵12(AB→－AC→)＝AP→＝3，32，－2，∴x＝5，y＝12，z＝0.∴点P的坐标为5，12，0.【例4】已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3B1P→＝PD1→.(1)若PQ⊥AE，BD→＝λDQ→，求λ的值；(2)若G是A1D的中点，点H在平面xOy上，且GH∥BD1，试判断点H的位置．【解题探究】建立适当的直角坐标系，利用空间向量的坐标计算．利用向量的坐标运算证明平行、垂直解：(1)如图所示，以点D为原点，DA→，DC→，DD1→的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)．由题意可设点P的坐标为(a，a,1)．∵3B1P→＝PD1→，∴3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，解得a＝34.∴点P的坐标为34，34，1.由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)．∵PQ⊥AE，∴PQ→·AE→＝0.∴b－34，b－34，－1·－1，0，12＝0，解得b＝14.∴点Q的坐标为14，14，0.∵BD→＝λDQ→，∴(－1，－1,0)＝λ14，14，0，解得λ＝－4.(2)∵G是A1D的中点，∴点G的坐标为12，0，12.∵点H在平面xOy上，设点H的坐标为(m，n,0)，∴GH→＝(m，n,0)－12，0，12＝m－12，n，－12，BD1→＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)，且GH∥BD1.∴m－12－1＝n－1＝－121.解得m＝1，n＝12.∴点H的坐标为1，12，0，∴H为线段AB的中点．解决空间向量垂直、平行问题的有关思路：(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a＝(x，y，z)．(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解．(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．4．如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.求