2019-2020学年高中数学 第三章 概率 3.3.2 均匀随机数的产生课件 新人教A版必修3

3．3.2均匀随机数的产生第三章概率考点学习目标核心素养均匀随机数了解均匀随机数的产生方法与意义数学抽象模拟试验求几何概型会用模拟试验求几何概型的概率数学运算、数学建模求不规则图形的面积能利用模拟试验估计不规则图形的面积直观想象、数学建模第三章概率问题导学(1)如何产生均匀随机数？(2)如何用随机模拟的方法求解几何概型的概率？(3)如何计算不规则图形的面积？1．均匀随机数的定义如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是_____________，则称这些实数为均匀随机数．2．均匀随机数的特征(1)随机数是在一定范围内产生的．(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性_______．等可能的相等3．均匀随机数的产生(1)计算器产生区间[0，1]上的均匀随机数的函数是RAND.(2)Excel软件产生区间[0，1]上的均匀随机数的函数为“rand”．(3)产生方法：①由几何概型产生；②由转盘产生；③由计算器或计算机产生．4．用模拟方法近似计算某事件概率的方法(1)试验模拟法：做两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验效果，进行近似计算．(2)计算机模拟法：用Excel软件产生[0，1]上的均匀随机数进行模拟，注意操作步骤．■名师点拨(1)均匀随机数与整数值随机数的异同点①相同点：随机产生的随机数．在一定的“区域”长度上出现的几率是均等的；②不同点：整数值随机数是离散的单个整数值．相邻两个整数值随机数的步长为1，而均匀随机数是小数或整数，是连续的，相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的．(2)[a，b]上均匀随机数的产生利用计算器或计算机产生0～1之间的均匀随机数x1＝RAND，然后利用伸缩和平移变换，x＝x1·(b－a)＋a就可以得到[a，b]内的均匀随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数的出现都是等可能的．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)计算器只能产生(0，1)之间的随机数．()(2)计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数．()(3)计算器只能产生均匀随机数．()解析：(1)计算器可以产生[0，1]上的均匀随机数和[a，b]上的整数值随机数等．(2)计算器不可以产生[a，b]上的均匀随机数，只能通过线性变换得到．(3)计算器也可以产生整数值随机数．答案：(1)×(2)×(3)×下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是()A．旋转的次数的多少不会影响估计的结果B．旋转的次数越多，估计的结果越精确C．旋转时可以按规律旋转D．转盘的半径越大，估计的结果越精确解析：选B.旋转时要无规律旋转，否则估计的结果与实际有较大的误差，所以C不正确；转盘的半径与估计的结果无关，所以D不正确；旋转的次数越多，估计的结果越精确，所以B正确，A不正确．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为()A．7.68B．8.68C．16.32D．17.32解析：选C.设椭圆的面积为S，则24－S6×4＝96300，解之得S＝16.32.b1是[0，1]上的均匀随机数，b＝3(b1－2)，则b是区间________上的均匀随机数．解析：0≤b1≤1，则函数b＝3(b1－2)的值域是[－6，－3]，即b是区间[－6，－3]上的均匀随机数．答案：[－6，－3]取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1m的概率．用随机模拟法估计长度型的概率【解】设“剪得两段的长都不小于1m”为事件A.法一：①利用计算器或计算机产生一组[0，1]上的均匀随机数a1＝RAND；②经过伸缩变换，a＝3a1；③统计出[1，2]内随机数的个数N1和[0，3]内随机数的个数N；④计算频率fn(A)＝N1N即为概率P(A)的近似值．法二：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3](这里3和0重合)．转动圆盘记下指针指在[1，2](表示剪断绳子位置在[1，2]范围内)的次数N1及试验总次数N，则fn(A)＝N1N即为概率P(A)的近似值．利用随机模拟法计算概率的步骤(1)确定概率模型．(2)进行随机模拟试验，即利用计算器等以及伸缩和平移变换得到[a，b]上的均匀随机数．(3)统计计算．(4)得出结论，近似求得概率．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率：(1)小燕比小明先到校；(2)小燕比小明先到校，且小明比小军先到校．解：记事件A为“小燕比小明先到校”；记事件B为“小燕比小明先到校且小明比小军先到校”．①利用计算器或计算机产生三组0到1区间的均匀随机数，a＝RAND，b＝RAND，c＝RAND分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间；②统计出试验总次数N及其中满足b＜c的次数N1，满足b＜c＜a的次数N2；③计算频率fn(A)＝N1N，fn(B)＝N2N，即分别为事件A，B的概率的近似值．解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为16m，宽为14m的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为5m，2m，1m．若着陆点在圆环B内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格．若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．与面积有关的几何概型【解】设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”．①利用计算器或计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；②经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[－8，8]与[－7，7]上的均匀随机数；③统计满足－8＜a＜8，－7＜b＜7的点(a，b)的个数N.满足1＜a2＋b2＜4的点(a，b)的个数N1；④计算频率fn(A)＝N1N，即为所求概率的近似值．若本例条件不变，如何利用随机模拟的方法求该特种兵的成绩为不合格的概率？解：设事件C表示“该特种兵跳伞的成绩为不合格”．(1)利用计算器或计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[－8，8]与[－7，7]上的均匀随机数．(3)统计满足－8a8，－7b7的点(a，b)的个数N，满足a2＋b225的点(a，b)的个数N1.(4)计算频率fn(C)＝N1N，即为所求概率的近似值．随机模拟法求解几何概型的思路用随机模拟法解决概率问题的关键是得到所求事件A涉及的变量所对应的均匀随机数，由于我们常用的随机数的范围是[0，1]，因此，对于任意区间[a，b]上的随机数，需要利用伸缩和平移变换y＝(b－a)x＋a进行转换，对于多维的连续量，可以利用计算机生成多组随机数进行计算．(2019·陕西省西安市长安区第一中学期末考试)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nmB.4mnC.2nmD.2mn解析：选B.由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为14π·12，从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，对应的区域的面积为12，所以mn＝14π·1212.所以π＝4mn.故选B.(1)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．用随机模拟法求解不规则图形的面积(2)利用随机模拟的方法计算曲线y＝2x与x轴，直线x＝±1所围成图形(如图中阴影部分)的面积．【解】(1)正方形的面积S＝1，设阴影部分的面积为S′，因为随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，所以由几何概型的概率公式进行估计得S′S＝1801000＝0.18，即S′＝0.18.故填0.18.(2)①利用计算器产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；②进行伸缩和平移变换，a＝2a1－1，b＝2b1，分别得到[－1，1]和[0，2]上的均匀随机数；③统计试验总次数N和落在阴影部分的点数N1；④计算频率N1N，即点落在阴影部分的概率的近似值；⑤设阴影部分的面积为S，由几何概型的概率计算公式得点落在阴影部分的概率为S4.所以N1N≈S4，则S≈4N1N.此即阴影部分面积的近似值．利用随机模拟方法估计图形面积的步骤(1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)的一部分，并用阴影表示．(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率P(A)＝N1N.(3)设阴影部分的面积是S，规则图形的面积是S′，则有SS′＝N1N，解得S＝N1NS′，则所求图形面积的近似值为N1NS′.用随机模拟方法求函数y＝x与x轴和直线x＝1围成的图形的面积．解：如图所示，阴影部分是函数y＝x的图象与x轴和直线x＝1围成的图形，设阴影部分的面积为S.随机模拟的步骤：(1)利用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND.(2)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件yx的点(x，y)的个数)．(3)计算频率N1N，即为点落在阴影部分的概率的近似值．(4)直线x＝1，y＝1和x，y轴围成的正方形面积是1，由几何概型的概率公式得点落在阴影部分的概率为S1＝S.则S≈N1N，即阴影部分面积的近似值为N1N.1．与均匀随机数特点不符的是()A．它是[0，1]内的任何一个实数B．它是一个随机数C．出现每一个实数都是等可能的D．是随机数的平均数解析：选D.A，B，C是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．2．要产生[－3，3]上的均匀随机数y，现有[0，1]上的均匀随机数x，则y可取为()A．－3xB．3xC．6x－3D．－6x－3解析：选C.法一：利用伸缩和平移变换进行判断．法二：由0≤x≤1，得－3≤6x－3≤3，故y可取6x－3.3．在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积．若在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2000个，则在这次模拟中，不规则图形M的面积的估计值为________．解析：由几何概型的概率计算公式可知SMS正方形ABCD＝200010000＝15，正方形的面积S正方形ABCD＝2×2＝4，故SM＝45.答案：45