2019-2020学年高中数学 第三章 概率 2 古典概型 2.2 建立概率模型课件 北师大版必修3

第三章概率§2古典概型2．2建立概率模型自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．能建立概率模型解决一些实际问题，理解概率模型的特点及应用．2．培养从多个角度观察分析问题的能力，养成良好的思维品质.建立不同的古典概型在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求：每次试验有__________________基本事件出现．只要基本事件的个数是________，并且它们的发生是__________，就是一个古典概型．一个并且只有一个有限的等可能的练一练：同时抛掷两个骰子，计算所得点数之和是偶数的概率．解：第1,2个骰子的点数各有1,2,3,4,5,6这6种结果，因而共有6×6＝36种不同的结果；由于骰子形状均匀，这些结果是等可能的，由于偶数＝奇数＋奇数＝偶数＋偶数，而骰子上奇偶数各3个，故“点数之和是偶数”(记为事件A)包含有3×3＋3×3＝18种可能结果．所以P(A)＝1836＝12.1．“建模”有何作用？一方面，对于同一个实际问题，我们有时可以通过建立不同的“模型”来解决，即“一题多解”，在这“多解”的方法中，再寻求较为“简捷”的解法；另一方面，我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题，即“多题一解”．2．学习古典概型应注意哪些问题？学习古典概型时，应把主要精力放在把实际问题化为古典概型上，而不要把重点放在“如何计数”上．在计算基本事件的总数时，由于分不清“有序”和“无序”，因而常常导致出现“重算”或“漏算”的错误．解决这一问题的有效方法是交换次序，看是否对结果产生影响．典例精析规律总结课堂互动探究从含有两件正品a1、a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次：(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．【解】(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事件A由4个基本事件组成．因而P(A)＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝49.【规律总结】“有放回”与“无放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“无放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．解：设事件A：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A包括的基本事件有：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)，共18个．(1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故P(A)＝1890＝945＝15.(2)有放回取球时，总的基本事件数为100，故P(A)＝18100＝950.甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛．试求：(1)甲跑第二棒的概率；(2)甲跑第一棒且乙跑第四棒的概率．【解】解法一：甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，所有可能的跑棒顺序有以下24种：(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，甲，丙，丁)，(乙，甲，丁，丙)，(乙，丙，甲，丁)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，甲，丙)，(乙，丁，丙，甲)，(丙，甲，乙，丁)，(丙，甲，丁，乙)，(丙，乙，甲，丁)，(丙，乙，丁，甲)，(丙，丁，甲，乙)，(丙，丁，乙，甲)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，甲，丙，乙)，(丁，乙，甲，丙)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，甲，乙)，(丁，丙，乙，甲)．(1)其中甲跑第二棒的情况有6种，因此甲跑第二棒的概率是P1＝624＝14.(2)甲跑第一棒且乙跑第四棒的情况共有2种；(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，丙，乙)，因此其概率P2＝224＝112.解法二：(1)由于共有4棒，所以甲选择的可能共有4种，且是等可能的，而甲跑第二棒的情况只有一种，因此所求概率为P＝14.(2)就第一棒和第四棒的安排方法来说，共有以下12种等可能的情况：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，甲)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，甲)，(丙，乙)，(丙，丁)，(丁，甲)，(丁，乙)，(丁，丙)．而其中甲跑第一棒且乙跑第四棒的情况只有1种：(甲，乙)．故所求概率为P＝112.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是()A．318B．29C．518D．13解析：依题意甲，乙两人各连成6条直线，所得直线共有6×62＝18(对)，而相互垂直的有5对，故所求的概率为518.答案：C从1,2,3,4,5,6中任取两个数字组成一个两位数，求组成的两位数大于50的概率．【解】解法一：设组成的两位数大于50为事件A，则所有的基本事件有：12,21,13,31,14,41,15,51,16,61,23,32,24,42,25,52,26,62,34,43,35,53,36,63,45,54,46,64,56,65.共有30个基本事件．事件A包含的基本事件是：51,52,53,54,56,61,62,63,64,65共10个基本事件．由古典概型计算公式得P(A)＝1030＝13.解法二：由于50的个位数是0，则只要十位上的数字不小于5即可．设十位上的数字不小于5为事件A，即所有的基本事件为：1,2,3,4,5,6共6个基本事件．事件A包含的基本事件为5,6共有2个基本事件，由古典概型计算公式得P(A)＝26＝13.【规律总结】对同一个古典概型问题，由于考虑的角度不同，其解法的繁简程度就会不同．因此，选取基本事件时，务必抓住所求事件的本质，把无关因素抛开，以简化解题过程．在所有首位不为0的八位数的电话号码中，任取一个电话号码，求：(1)头两位数码都是8的概率；(2)头两位数码至少有一个不超过8的概率；(3)头两位数码不相同的概率．解：因为所研究的事件只与电话号码的头两位有关，故可只考虑电话号码前两位的情况．又因为电话号码的首位不为0，所以电话号码的前两位是10～99的两位整数，共90种情况．(1)头两位数码都是8的情况，只有88一种情况，∴P1＝190.(2)头两位数码至少有一个不超过8的情况有10～98中的89种情况，∴P2＝8990.(3)头两位数码相同的情况有：11,22,33,44,55,66,77,88,99共9种．∴头两位数码不相同的情况有90－9＝81种，∴P3＝8190＝910.汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．如图，三个汉字可以看成是轴对称图形．小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)，则小敏获胜，否则小慧获胜．你认为这个游戏对谁有利？说明理由．【错解】每次游戏时，可能出现的结果为：(土，土)，(土，口)，(土，木)，(口，口)，(口，木)，(木，木)，共6种情况，其中可组成上、下结构的汉字有2种情况(口，口)，(口，木)．∴小敏获胜的概率为26＝13，小慧获胜的概率为23，此游戏对小敏有利．【错因分析】对可能出现的情况分析不清，未找出所有基本事件．【正解】这个游戏对小慧有利．每次游戏时，所有可能出现的结果如下(列表)：第二张卡片第一张卡片土口木土(土，土)(土，口)(土，木)口(口，土)(口，口)(口，木)木(木，土)(木，口)(木，木)共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中能组成上下结构的汉字的结果有4种：(土，土)“圭”，(口，口)“吕”，(木，口)“杏”或“呆”，(口，木)“呆”或“杏”．所以小敏获胜的概率为49，小慧获胜的概率为59.所以这个游戏对小慧有利．即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一有放回的古典概型1．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色完全相同的概率是()A．227B．19C．29D．127解析：基本事件有27种，颜色完全相同有3种，则球的颜色完全相同的概率为327＝19.答案：B2．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为()A．132B．164C．332D．364解析：由题意知，取得两个球的编号和不小于15，只可能在7、8；8、7；8、8这三种情况中取，因此取得两个球的编号和不小于15的概率为38×8＝364.答案：D知识点二建立概率模型3．若书架上放的数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为()A．15B．310C．35D．12解析：任意抽取一本得到任何一本书的可能性是相同的，故为古典概型，其中总基本事件数n＝10，事件A“抽得物理书”包含的基本事件数m＝3，所以依据古典概型概率的计算公式得P(A)＝mn＝310.答案：B4．某中学高一有21个班、高二有14个班、高三有7个班，现采用分层抽样的方法从这些班中抽取6个班对学生进行视力检查，若从抽取的6个班中再随机抽取2个班做进一步的数据分析，则抽取的2个班均为高一的概率是()A．15B．13C．35D．23解析：高一、高二、高三班级数之比为21∶14∶7＝3∶2∶1，根据分层抽样的性质可知所抽取的6个班中，高一、高二、高三班级数分别为3、2、1，设高一三个班级分别为A1，A2，A3，高二两个班级为B1，B2，高三一个班级为C1，随机抽取2个，基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共15个，若抽取的两个班级均为高一，则包含(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，所以概率为15.答案：A5．某旅游公司为甲、乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团均可任选其中一条旅游线路．(1)甲、乙两个旅游团所选旅游线路共有多少种不同的情况？请列出所有的情况；(2)求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率．解：设四条旅游线路分别为a，b，c，d.若甲旅游团选a旅游线路，乙旅游团选b旅游线路，则表示为(a，b)，其他同此．(1)甲、乙两个旅游团所选旅游线路共有16种不同的情况．列举如下：(a，a)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(b，d)，(c，a)，(c，b)，(c，c)，(c，d)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，(d，d)．(2)甲、乙两个旅游团所选的旅游线路不同的情况有12种：(a，b