2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式课件 苏教版必修5

基本不等式ab≤a＋b2a≥0，b≥0预习课本P96～102，思考并完成以下问题(1)基本不等式的形式是什么？需具备哪些条件？(2)“和定积最大，积定和最小”应怎样理解？(3)在利用基本不等式求最值时，应注意哪些方面？(4)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？[新知初探]1．重要不等式当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2．基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正数时，把称为正数a，b的算术平均数，把称为正数a，b的几何平均数．a＋b2ab(2)基本不等式定义：如果a，b是正数，那么ab≤，当且仅当时取“＝”．(3)变形：ab≤a＋b22≤a2＋b22，a＋b≥2ab(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．a＋b2a＝b[点睛]基本不等式成立的条件：a＞0且b＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号，即若a≠b时，则ab≠a＋b2，即只能有ab＜a＋b2.3．设x，y为正实数(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当时，积xy有最值，且这个值为.(2)若xy＝p(积p为定值)，则当时，和x＋y有最值，且这个值为.x＝y大s24x＝y小2p[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立()(2)若a≠0，则a＋4a≥2a·4a＝4()(3)若a0，b0，则ab≤a＋b22.()××√解析：(1)错误．任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2ab成立．(2)错误．只有当a0时，根据基本不等式，才有不等式a＋4a≥2a·4a＝4成立．(3)正确．因为ab≤a＋b2，所以ab≤a＋b22.2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是()A．a＞b＞a＋b2＞abB．a＞a＋b2＞ab＞bC．a＞a＋b2＞b＞abD．a＞ab＞a＋b2＞b解析：a＝a＋a2＞a＋b2＞ab＞b·b＝b，因此B项正确．答案：B3．已知f(x)＝x＋1x－2(x＜0)，则f(x)有()A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4解析：∵x＜0，∴f(x)＝－－x＋1－x－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝1－x，即x＝－1时取等号．答案：C4．给出下面结论：①若x∈(0，π)，则sinx＋1sinx≥2；②若a，b∈(0，＋∞)，则lga＋lgb≥2lga·lgb；③若x∈R，则x＋4x≥4.其中正确结论的序号是________．解析：①因为x∈(0，π)，所以sinx∈(0,1]，所以①成立；②只有在lga0，lgb0，即a1，b1时才成立；③x＋4x＝|x|＋4x≥2|x|·4x＝4成立．答案：①③利用基本不等式比较大小[典例](1)已知m＝a＋1a－2(a2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是()A．mnB．mnC．m＝nD．不确定(2)若ab1，P＝lga·lgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋b2，则P，Q，R的大小关系是________．[解析](1)因为a2，所以a－20，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2a－2·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b22，n＝22－b24，综上可知mn.(2)因为ab1，所以lgalgb0，所以Q＝12(lga＋lgb)lga·lgb＝P；Q＝12(lga＋lgb)＝lga＋lgb＝lgablga＋b2＝R.所以PQR.[答案](1)A(2)PQR利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)．(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a0，b0.[活学活用]已知a，b，c都是非负实数，试比较a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2与2(a＋b＋c)的大小．解：因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，所以a2＋b2≥22(a＋b)，同理b2＋c2≥22(b＋c),c2＋a2≥22(c＋a)，所以a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥22[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]，即a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.利用基本不等式证明不等式[典例]已知a，b，c均为正实数，求证：2b＋3c－aa＋a＋3c－2b2b＋a＋2b－3c3c≥3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3ca＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c2b＋2b3c≥2(当且仅当2b＝3c时等号成立)，将上述三式相加得2ba＋a2b＋3ca＋a3c＋3c2b＋2b3c≥6(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，∴2ba＋a2b－1＋3ca＋a3c－1＋3c2b＋2b3c－1≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，即2b＋3c－aa＋a＋3c－2b2b＋a＋2b－3c3c≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)．利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用．[活学活用]已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：1a－11b－11c－1≥8.证明：因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，所以1a－1＝1－aa＝b＋ca≥2bca.同理，1b－1≥2acb，1c－1≥2abc.上述三个不等式两边均为正，相乘得1a－11b－11c－1≥2bca·2acb·2abc＝8，当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号.利用基本不等式求最值[典例](1)已知lga＋lgb＝2，求a＋b的最小值．(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．(3)已知x＞0，y＞0，1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．[解](1)由lga＋lgb＝2可得lgab＝2，即ab＝100，且a＞0，b＞0，因此由基本不等式可得a＋b≥2ab＝2100＝20，当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20.(2)∵x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，∴xy＝16(2x·3y)≤16·2x＋3y22＝16·622＝32，当且仅当2x＝3y，即x＝32，y＝1时，xy取到最大值32.(3)∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝1＋9xy＋yx＋9＝yx＋9xy＋10，又∵x＞0，y＞0，∴yx＋9xy＋10≥2yx·9xy＋10＝16，当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，等号成立．由y＝3x，1x＋9y＝1，得x＝4，y＝12，即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.(1)应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键．(2)常用构造定值条件的技巧变换：①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式．(3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用．[活学活用](1)已知0x13，求函数y＝x(1－3x)的最大值．(2)已知x54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最小值．解：(1)∵0x13，∴1－3x0.∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x)≤133x＋1－3x22＝112，当且仅当x＝16时，函数y＝x(1－3x)取得最大值112.(2)∵x54，∴4x－50.∴y＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3≥24x－5·14x－5＋3＝5.当且仅当4x－5＝14x－5，即x＝32时取等号．∴当x＝32时，y取最小值为5.利用基本不等式解应用题[典例]某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？[解](1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为S＝xy，依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3200，由基本不等式得3200≥240x×90y＋20xy＝120xy＋20xy＝120S＋20S.所以S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0，故S≤10，从而S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，求得x＝15，即铁栅的长是15米．求实际问题中最值的解题策略(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．(4)正确写出答案．[活学活用]某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－x＋25x，而x0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：58