2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式 第二课时 基本不等式的应用课件

第二课时基本不等式的应用[目标导航]课标要求1.进一步熟练掌握基本不等式,能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.2.能够利用基本不等式解决实际问题.3.能够利用基本不等式解决一些不等式的恒成立问题.素养达成通过对基本不等式应用的学习,培养学生逻辑推理、数学建模的能力.题型一利用基本不等式求函数的最值课堂探究·素养提升[例1](1)已知a0,求函数y=221xaxa的最小值.解:(1)y=2xa+21xa,当0a≤1时,y=2xa+21xa≥2,当且仅当x=±1a时取等号,此时ymin=2.当a1时,令t=2xa(t≥a),y=f(t)=t+1t,易知f(t)在(1,+∞)上单调递增,所以y≥f(a)=1aa,当t=a,即x=0时等号成立,则ymin=1aa.综上,当0a≤1时,ymin=2,当a1时,ymin=1aa.(2)已知0x12,求y=12x(1-2x)的最大值.解:(2)因为0x12,所以1-2x0,所以y=12x(1-2x)=14×2x(1-2x)≤14(2122xx)2=14×14=116,当且仅当2x=1-2x(0x12),即x=14时,ymax=116.方法技巧(1)利用基本不等式求最大值或最小值时应注意:①x,y一定要都是正数;②求积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小值时,应看积xy是否为定值;③等号是否能够成立.以上三点可简记为“一正,二定,三相等”.(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.即时训练1-1:(2019·烟台高二检测)(1)若x0,求f(x)=12x+3x的最小值;解:(1)因为x0,由基本不等式得f(x)=12x+3x≥2123xx=236=12.当且仅当3x=12x,即x=2时,f(x)取最小值12.(2)求函数y=281xx(x1)的最小值.解:(2)因为x1,所以x-10,所以y=281xx=2(1)271xxx=2(1)2(1)91xxx=(x-1)+91x+2≥29(1)1xx+2=8.当且仅当x-1=91x,即x=4时,取“=”,所以当x=4时,y取得最小值8.题型二利用基本不等式求代数式的最值[例2]已知x0,y0,且满足8x+1y=1.求x+2y的最小值.解:法一因为x0,y0,8x+1y=1,所以x+2y=(8x+1y)(x+2y)=10+xy+16yx≥10+216xyyx=18,当且仅当811,16,xyxyyx即12,3,xy时,等号成立,故当x=12,y=3时,(x+2y)min=18.法二因为x0,y0且8x+1y=1,所以y=8xx,所以由y0⇒8xx0,又x0,所以x8,则x+2y=x+28xx=x+2(8)168xx=x+2+168x=(x-8)+168x+10≥216(8)8xx+10=18,当且仅当x-8=168x,即x=12(此时y=3)时,等号成立,故当x=12,y=3时,(x+2y)min=18.法三由8x+1y=1得8y+x=xy,所以(x-8)(y-1)=8.所以x+2y=(x-8)+2(y-1)+10≥2(8)2(1)xy+10=18.当且仅当x-8=2(y-1)时取等号,又8x+1y=1,所以x=12,y=3,所以当x=12,y=3时,x+2y取得最小值18.方法技巧(1)配凑法即通过对式子进行变形,配凑出满足基本不等式的条件.(2)通过消元,化二元问题为一元问题,要注意被代换的变量的范围对另一个变量范围的影响.(3)常见的变形技巧有①配凑系数;②变符号;③拆补项.常见形式有f(x)=ax+bx型和f(x)=ax(b-ax)型.(A)8(B)7(C)6(D)5即时训练2-1:已知a0,b0,2a+1b=16,若不等式2a+b≥9m恒成立,则m的最大值为()解析:由已知,可得6(2a+1b)=1,所以2a+b=6(2a+1b)·(2a+b)=6(5+2ab+2ba)≥6×(5+4)=54,当且仅当2ab=2ba时等号成立,所以9m≤54,即m≤6,故选C.[备用例1](1)已知x0,y0,且3x+4y=12,求lgx+lgy的最大值及相应的x,y的值.解:(1)由x0,y0,且3x+4y=12,得xy=112·(3x)·(4y)≤112(342xy)2=3,所以lgx+lgy=lg(xy)≤lg3,当且仅当3x=4y=6,即x=2,y=32时,等号成立.故当x=2,y=32时,lgx+lgy的最大值是lg3.(2)已知正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.解:(2)法一由ab=a+b+3,得b=31aa.由b0,得31aa0.因为a0,所以a1,所以ab=a·31aa=231aaa=2(1)13(1)11aaa=(a-1)+41a+5≥24(1)1aa+5=9.当且仅当a-1=41a,即a=3时,取等号,此时b=3,所以ab的取值范围是[9,+∞).法二由于a,b为正数,所以a+b≥2ab,所以ab=a+b+3≥2ab+3,即(ab)2-2ab-3≥0,所以ab≥3,故ab≥9,当且仅当a=b=3时,取等号,所以ab的取值范围是[9,+∞).题型三基本不等式的实际应用[例3]某厂家拟在2019年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(万件)与年促销费用m(万元)(m≥0)满足x=3-1km(k为常数),如果不搞促销活动,那么该产品的年销售量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).(1)将2019年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数;规范解答:(1)由题意可知当m=0时,x=1,所以1=3-k,所以k=2,所以x=3-21m,每件产品的销售价格为1.5×816xx,…………3分所以2019年的利润y=x(1.5×816xx)-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8(3-21m)-m=-[161m+(m+1)]+29(m≥0).……………………6分(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大,并求出最大利润.规范解答:(2)当m≥0时,161m+(m+1)≥216=8,…………………………8分所以y≤-8+29=21,当且仅当161m=m+1,即m=3时,ymax=21.………………10分即该厂家2019年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元.……………………………………………………………………………12分方法技巧求实际问题中最值的一般思路(1)先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式.(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内,求函数的最大值或最小值时,一般先考虑基本不等式,当基本不等式求最值的条件不具备时,再考虑函数的单调性.(4)正确写出答案.即时训练3-1:如图所示,某畜牧基地要围成相同面积的羊圈4间,一面可利用原有的墙壁,其余各面用篱笆围成,篱笆总长为36m.则每间羊圈的长和宽各为多少时,羊圈面积最大?解:设每间羊圈的相邻两边长分别为xm,ym(平行于墙的一边为xm),则有4x+6y=36,即2x+3y=18.设每间羊圈的面积为Sm2,则S=xy,因为18=2x+3y≥223xy=26xy,所以xy≤272,即S≤272.上式当且仅当2x=3y时取“=”,此时23,2318,xyxy所以9,23,xy所以每间羊圈的相邻两边长分别为92m,3m时面积最大.[备用例2]某商品进货价为每件50元,据市场调查,当销售价格为每件x(50≤x≤80)元时,每天销售的件数为5210(40)x,若想每天获得的利润最多,则销售价应定为多少元?解:法一设当销售价格为每件x元时,获得的利润为y元,由题意知,y=(x-50)·5210(40)x=(x-50)·5210(50)20(50)100xx=510100502050xx.因为x-50≥0,所以x-50+10050x≥20,所以y≤5102020=2500,当且仅当x-50=10050x,即x=40(舍去)或x=60时,等号成立,ymax=2500.法二由题意知,y=(x-50)·5210(40)x,令x-50=t,x=t+50(t≥0),则y=5210(10)tt=521020100ttt=51010020tt≤5102020=2500,当且仅当t=100t,即t=10时,等号成立,此时x=60,ymax=2500.故当销售价格定为60元时,每天获得的利润最多,最多利润为2500元.题型四易错辨析——忽视等号成立的条件致误[例4]设x,y为正数,求(x+y)(1x+4y)的最小值.错解:因为x,y为正数,所以x+y≥2xy,1x+4y≥24xy,即1x+4y≥4xy,从而(x+y)(1x+4y)≥2xy·4xy=8.纠错:(1)在x+y≥2xy中等号成立的条件为x=y,在1x+4y≥4xy中等号成立的条件为1x=4y,即y=4x,要使两个等号同时成立,必有x=y=0,这与题设矛盾.(2)在运用基本不等式时,要特别注意等号成立的条件,尤其是一个题目中多次使用基本不等式,等号成立的条件必须相同,否则会造成错误.正解:(x+y)(1x+4y)=1+4·xy+yx+4=5+4xy+yx≥5+24xyyx=9,当且仅当4·xy=yx,即y=2x时等号成立.故(x+y)(1x+4y)的最小值为9.学霸经验分享区(1)利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件,并且和为定值,积有最大值;积为定值,和有最小值.(2)使用基本不等式求最值时,若等号取不到,则考虑用函数单调性求解.(3)解决实际应用问题,关键在于弄清问题的各种数量关系,抽象出数学模型,利用基本不等式解应用题,既要注意条件是否具备,还要注意有关量的实际含义.课堂达标(A)2(B)3(C)4(D)6C1.函数y=2x+2x(x0)的最小值是()解析:y=2x+2x≥222xx=4,当且仅当2x=2x,x=1时取等号,ymin=4.故选C.C2.已知x-2,则函数y=2x+12x的最大值为()(A)22(B)22-4(C)-22-4(D)-22解析:因为x-2,所以x+20,y=2(x+2)+12x-4≤-212(2)2xx-4=-22-4,当且仅当x=-2-22时,等成立.故选C.3.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()(A)[0,2](B)[-2,0](C)[-2,+∞)(D)(-∞,-2]D解析:因为2x0,2y0,2x+2y≥22xy,当且仅当2x=2y,即x=y时等号成立,又2x+2y=1,则1≥22xy,即2x+y≤2-2,所以x+y≤-2,当且仅当x=y=-1时,等号成立,故选D.4.已知x,y都是正数,且2x+1y=1,则x+y的最小值等于.解析:x+y=(x+y)(2x+1y)=3+2yx+xy≥3+22,当且仅当x=2+2时,等号成立.答案:3+225.用一段长为40m的篱笆围成一个矩形菜园,则菜园的最大面积是.解析:设矩形菜园的长为xm,宽为ym,面积为Sm2,则2(x+y)=40,即x+y=20,所以S=xy≤(2xy)2=100,当且仅当x=y=10时,等号成立,此时菜园的面积最大,最大面积是100m2.答案:100m2