2019-2020学年高中数学 第三章 变化率与导数 3 计算导数课件 北师大版选修1-1

一、导函数如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝_______________________，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．二、常见函数的导数函数导函数函数导函数y＝c(c是常数)y′＝______y＝sinxy′＝______limΔx→0fx＋Δx－fxΔx0cosx函数导函数函数导函数y＝xα(α为实数)y′＝______y＝cosxy′＝______y＝ax(a0，a≠1)y′＝__________特别地，(ex)′＝____y＝tanxy′＝______y＝logax(a0，a≠1)y′＝________特别地，(lnx)′＝____y＝cotxy′＝______αxα－1－sinxaxlna(a0)ex1cos2x1xlna1x－1sin2x[疑难提示]“函数f(x)在点x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系(1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变量．(2)导函数简称导数，所以导数fx在一点x＝x0处的导数←导函数←—个别与一般(3)函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．[想一想]1．(sinπ3)′＝cosπ3＝12，正确吗？提示：不正确．因为sinπ3＝32是一个常数，所以(sinπ3)′＝0.[练一练]2．曲线f(x)＝xn(n∈N＋)在x＝2处的导数为12，则n等于()A．1B．2C．3D．4解析：∵f′(x)＝nxn－1，∴f′(2)＝n·2n－1＝12，∴n＝3.答案：C3．曲线y＝1x上一点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标为__________．解析：易知y′＝1x′＝－1x2，则－1x2＝－4，解得x＝±12，所以点P的坐标为12，2或－12，－2.答案：12，2或－12，－2探究一利用导数公式求导数[典例]求下列函数的导数：(1)y＝π＋1；(2)y＝1x2；(3)y＝xx；(4)y＝2x；(5)y＝；(6)y＝(sinx2＋cosx2)2－1.[解析](1)y′＝(π＋1)′＝0.(2)y′＝(1x2)′＝(x－2)′＝－2x－3.(3)y′＝(xx)′＝()′＝＝32x.(4)y′＝(2x)′＝2xln2.(5)y′＝()′＝1xln12＝－1xln2.(6)∵y＝(sinx2＋cosx2)2－1＝sin2x2＋2sinx2·cosx2＋cos2x2－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.基本初等函数的导数公式是我们解决函数导数的基本工具，适当变形，恰当选择公式，准确套用公式是解决此类题目的关键．当记忆不准确时，应作适当推理，证明或用特例检验．1．已知函数f(x)＝x3，x≤0lnx，0x1，若f′(a)＝12，则实数a的值为__________．解析：f′(x)＝3x2，x≤01x，0x1，若f′(a)＝12，则0a11a＝12或a≤03a2＝12，解得a＝112或a＝－2.答案：112或－22．求下列函数的导数．(1)y＝log3x；(2)y＝sinx2cos2x2－1；(3)y＝5x.解析：(1)y′＝(log3x)′＝1xln3.(2)∵y＝sinx2cos2x2－1＝sinxcosx＝tanx，∴y′＝(tanx)′＝1cos2x.(3)y′＝(5x)′＝5xln5.探究二导数公式的应用导的数应公用式——利用导数公式求切线方程—利用导数公式求物体运动的瞬时速度—导数公式的综合应用3．(1)求曲线y＝x在点B(1,1)处的切线方程；(2)求曲线y＝lnx的斜率等于4的切线方程．解析：(1)∵y′＝(x)′＝12x－12，∴k＝y′|x＝1＝12，∴曲线y＝x在点B(1,1)处的切线方程为y－1＝12(x－1)，即x－2y＋1＝0.(2)∵y′＝1x，曲线y＝lnx的一条切线的斜率等于4，∴y′＝1x＝4，得x＝14，此时y＝－ln4，∴切点为14，－ln4，∴所求切线方程为y＋ln4＝4x－14，即4x－y－1－ln4＝0.4．已知某运动着的物体运动方程为s(t)＝t5(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3s时物体的瞬时速度．解析：∵s′(t)＝5t4，∴s′(3)＝5×34＝405，即物体在t＝3s时的瞬时速度为405m/s.5．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像都过点P(2,0)，且在点P处有相同的切线，求实数a，b，c的值．解析：∵f(x)过点(2,0)，∴f(2)＝2×23＋a×2＝0，解得a＝－8，同理，g(2)＝4b＋c＝0.∵f′(x)＝6x2－8，∴在点P处切线斜率k＝f′(2)＝6×22－8＝16.又g′(x)＝2bx，∴2b×2＝16，∴b＝4，∴c＝－4b＝－16.综上，a＝－8，b＝4，c＝－16.数形结合思想在导数问题中的应用[典例]已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的上求一点P，使△ABP的面积最大．[解析]如图所示，因为|AB|为定值，要使△PAB的面积最大，只要点P到AB的距离最大，只需点P是抛物线的平行于AB的切线的切点即可．设P(x，y)，由图可知，点P在x轴的下方的图像上，所以y＝－2x，所以y′＝－1x，因为kAB＝－12，所以－1x＝－12，所以x＝4.由y2＝4x(y0)得y＝－4.所以P(4，－4)为所求点的坐标．[感悟提高]本例借助图形分析，由于|AB|是定值，只要P点到AB的距离最大，则S△ABP就最大．问题转化为在抛物线的上求一点P到直线AB的距离最大．因此找到曲线上到已知直线距离最大的点就是与直线平行且与曲线相切的切点，是解决本题的关键，体现了数形结合思想的应用．