2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的简单几何

课后课时精练2A级：基础巩固练一、选择题1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值为()A．－14B．－4C．4D.14答案A解析双曲线的标准方程为y2－x2－1m＝1，∴a2＝1，b2＝－1m.由题意，得b2＝4a2，∴－1m＝4，∴m＝－14.答案解析32．已知双曲线x22－y2a＝1的一条渐近线为y＝2x，则实数a的值为()A.2B．2C.3D．4答案D解析由题意，得2＝a2，所以a＝4.答案解析43．设P是双曲线x2a2－y29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝3，则|PF2|＝()A．1或5B．6C．7D．9答案C答案5解析∵双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，∴ba＝32，∵b＝3，∴a＝2.又||PF1|－|PF2||＝2a＝4，∴|3－|PF2||＝4.∴|PF2|＝7或|PF2|＝－1(舍去)．解析64．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A.－153，153B.0，153C.－153，0D.－153，－1答案D答案7解析将y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得(1－k2)x2－4kx－10＝0，则Δ＝16k2＋401－k20，x1＋x2＝4k1－k20，x1·x2＝－101－k20，即－153k153，k－1或0k1，k－1或k1.∴－153k－1.解析85．已知直线y＝12x与双曲线x29－y24＝1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝()A.49B.12C.23D．与P点位置有关答案A答案9解析设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，P(x，y)，∴kPA·kPB＝y－y0x－x0·y＋y0x＋x0＝y2－y20x2－x20＝4x29－1－4x209－1x2－x20＝49x2－x20x2－x20＝49.故选A.解析106．已知椭圆C1：x2m2＋y2＝1(m1)与双曲线C2：x2n2－y2＝1(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A．mn且e1e21B．mn且e1e21C．mn且e1e21D．mn且e1e21答案A答案11解析由于m2－1＝c2，n2＋1＝c2，则m2－n2＝2，故mn.又(e1e2)2＝m2－1m2·n2＋1n2＝n2＋1n2＋2·n2＋1n2＝n4＋2n2＋1n4＋2n2＝1＋1n4＋2n21，所以e1e21.解析12二、填空题7．与双曲线x2－y24＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________．答案x23－y212＝1解析依题意，设双曲线的方程为x2－y24＝λ(λ≠0)，将点(2,2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x23－y212＝1.答案解析138．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π3，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则1e21＋3e22＝________.答案4答案14解析如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，解析15∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝π3，则在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)·cosπ3，化简得a21＋3a22＝4c2，该式可变形为a21c2＋3a22c2＝4，∴1e21＋3e22＝4.解析169．已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，若A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是________．答案9答案17解析因为A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′(4,0)，于是由双曲线的定义得|PF|－|PF′|＝2a＝4.而|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5.两式相加得|PF|＋|PA|≥9，当且仅当A，P，F′三点共线时，等号成立．由双曲线的图象可知当点A，P，F′共线时，满足|PF′|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF′|＝5，故所求最小值为9.解析18三、解答题10．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦距为4，且过点(－3,26)．(1)求双曲线方程与其渐近线方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求所有满足条件的实数k的取值．19解(1)由题意得a2＋b2＝4，9a2－24b2＝1，解得a2＝1，b2＝3.∴双曲线方程为x2－y23＝1，其渐近线方程为y＝±3x.答案20(2)由y＝kx＋2，x2－y23＝1，得(3－k2)x2－4kx－7＝0，若3－k2≠0，由题意得Δ＝16k2＋28(3－k2)＝0，∴k2＝7，∴k＝±7.若3－k2＝0，即k＝±3，则直线l与双曲线C的渐近线y＝±3x平行，此时直线l与双曲线C只有一个公共点，∴k＝±7或k＝±3.答案21B级：能力提升练1．已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点．(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；(2)是否存在这样的实数a，使A，B两点关于直线y＝12x对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．22解(1)由y＝ax＋1，3x2－y2＝1，消去y得，(3－a2)x2－2ax－2＝0.①依题意3－a2≠0，Δ0，即－6a6且a≠±3.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2a3－a2，③x1x2＝－23－a2，④答案23∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB.∴x1x2＋y1y2＝0，但y1y2＝a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1，由③④知，(a2＋1)·－23－a2＋a·2a3－a2＋1＝0.解得a＝±1且满足②.答案24(2)假设存在实数a，使A，B关于y＝12x对称，则直线y＝ax＋1与y＝12x垂直，∴a＝－2.直线l的方程为y＝－2x＋1.将a＝－2代入③得x1＋x2＝4.∴AB中点横坐标为2，纵坐标为y＝－2×2＋1＝－3.但AB中点(2，－3)不在直线y＝12x上．即不存在实数a，使A，B关于直线y＝12x对称．答案252．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率e＝233，直线l过A(a,0)，B(0，－b)两点，原点O到l的距离是32.(1)求双曲线的方程；(2)过点B作直线m交双曲线于M，N两点，若OM→·ON→＝－23，求直线m的方程．26解(1)依题意，直线l的方程为：xa＋y－b＝1，即bx－ay－ab＝0.由原点O到l的距离是32，得aba2＋b2＝abc＝32，又e＝ca＝233，所以b＝1，a＝3.故所求双曲线方程为x23－y2＝1.答案27(2)显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y＝kx－1，设点M，N坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立方程y＝kx－1，x23－y2＝1消去y，得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0.(*)依题意知1－3k2≠0，由根与系数的关系知x1＋x2＝6k3k2－1，x1x2＝63k2－1.答案28OM→·ON→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1)＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋1＝61＋k23k2－1－6k23k2－1＋1＝－23，解得k＝±12.当k＝±12时，判别式Δ＝150，方程(*)有两个不等的实数根，满足条件．故直线m方程为y＝12x－1或y＝－12x－1.答案本课结束