2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方

课后课时精练2A级：基础巩固练一、选择题1．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，P点的轨迹分别是()A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线答案D答案3解析依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，2a＝6|F1F2|，故P点的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故P点的轨迹为一条射线．选D.解析42．已知椭圆x2a2＋y29＝1(a0)与双曲线x24－y23＝1有相同的焦点，则a的值为()A.2B.10C．4D.34答案C解析因为椭圆x2a2＋y29＝1(a0)与双曲线x24－y23＝1有相同的焦点(±7，0)，则有a2－9＝7，∴a＝4.选C.答案解析53．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的()答案C答案6解析方程可化为y＝ax＋b和x2a＋y2b＝1.从B，D中的两个椭圆看，a，b∈(0，＋∞)，但由B中直线可知a0，b0，矛盾，应排除B；由D中直线可知a0，b0，矛盾，应排除D；再由A中双曲线可知a0，b0，与直线中a0，b0矛盾，应排除A；由C中的双曲线可知a0，b0，和直线中a0，b0一致，应选C.解析74．设F1，F2分别是双曲线C：x24－y25＝1的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，且PF1→·PF2→＝0，则|PF1→＋PF2→|＝()A．4B．6C．214D．47答案B答案8解析由双曲线方程得a2＝4，b2＝5，c2＝9，即c＝3，则焦点为F1(－3,0)，F2(3,0)．∵点P在双曲线C的右支上，且PF1→·PF2→＝0，∴△F1PF2为直角三角形．则|PF1→＋PF2→|＝2|PO→|＝|F1F2|＝2c＝6.故选B.解析95．若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是()A.x216＋y215＝1B.x225＋y224＝1C．x2－y215＝1D．x2－y2＝1答案D答案10解析不妨设曲线的焦点为F1，F2，假设|PF1|＝2|PF2|，若是椭圆，则|PF1|＋|PF2|＝2|PF2|＋|PF2|＝3|PF2|＝2a，即|PF1|＝4a3，|PF2|＝2a3；若是双曲线，则|PF1|－|PF2|＝2|PF2|－|PF2|＝|PF2|＝2a，即|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.可以验证，对于选项A，B，C，上述条件下的数量关系都不能保证构成三角形PF1F2，只有D，由于a＝1，c＝2，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝22构成三角形．即存在“Ω点”的曲线是x2－y2＝1.解析116．P是双曲线x29－y216＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为()A．6B．7C．8D．9答案D答案12解析如图所示，因为a＝3，b＝4，c＝5，所以F1(－5,0)，F2(5,0)，因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6.所以|MP|≤|PF1|＋|MF1|，|PN|≥|PF2|－|NF2|，所以－|PN|≤－|PF2|＋|NF2|，所以|PM|－|PN|≤|PF1|＋|MF1|－|PF2|＋|NF2|＝6＋1＋2＝9.解析13二、填空题7．若双曲线x2m－y23＝1的右焦点坐标为(3,0)，则m＝________.答案6解析由已知a2＝m，b2＝3，∴m＋3＝9.∴m＝6.答案解析148．已知椭圆x26＋y22＝1和双曲线x23－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是________．答案13答案15解析不妨设点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点，因为P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝26.又P在双曲线上，所以|PF1|－|PF2|＝23，两式联立，得|PF1|＝6＋3，|PF2|＝6－3.又|F1F2|＝4，根据余弦定理可以求得cos∠F1PF2＝13.解析169．已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的标准方程是________．答案x214－y234＝1答案17解析如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，解析18故|BN|＝|BM|2＋|MN|2＝322＋22＝52.由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝52－32＝1，即a2＝14.而2c＝|MN|＝2，从而c＝1，b2＝34.所以双曲线E的标准方程是x214－y234＝1.解析19三、解答题10．已知定点A(3,0)和定圆C：(x＋3)2＋y2＝16，动圆和圆C相外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程．20解设P的坐标为(x，y)．∵圆P与圆C外切且过点A，∴|PC|－|PA|＝4.∵|AC|＝3＋32＋0＝6＞4，∴点P的轨迹是以C，A为焦点，实轴长为2a＝4的双曲线的右支，∵a＝2，c＝3，∴b2＝c2－a2＝5.∴动圆圆心P的轨迹方程为x24－y25＝1(x≥2)．答案21B级：能力提升练1．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝63，试判别△MF1F2的形状．22解(1)椭圆方程可化为x29＋y24＝1，焦点在x轴上，且c＝9－4＝5，故设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则有9a2－4b2＝1，a2＋b2＝5，解得a2＝3，b2＝2，所以双曲线的标准方程为x23－y22＝1.答案23(2)不妨设点M在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝23，又|MF1|＋|MF2|＝63，故解得|MF1|＝43，|MF2|＝23.又|F1F2|＝25，因此在△MF1F2中，边MF1最长，因为cos∠MF2F1＝|MF2|2＋|F1F2|2－|MF1|22|MF2|·|F1F2|0，所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．答案242．A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角．25解如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5，23)．答案26因为|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．设敌炮阵地的坐标为(x，y)，因为kBC＝－3，BC中点D(－4，3)，所以直线lPD：y－3＝13(x＋4)．①又|PB|－|PA|＝4，故P在以A，B为焦点的双曲线右支上．则双曲线方程为x24－y25＝1(x0)．②联立①②式，得x＝8，y＝53，所以P的坐标为(8,53)．因此kPA＝538－3＝3.故炮击的方向角为北偏东30°.答案本课结束