2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质（第2课时）椭

第二章圆锥曲线与方程第2课时椭圆方程及性质的应用第二章圆锥曲线与方程考点学习目标核心素养直线与椭圆的位置关系掌握判断直线与椭圆位置关系的方法逻辑推理直线与椭圆的相交弦问题会解决弦长及中点弦问题数学运算与椭圆有关的最值或范围问题能利用椭圆的性质解决最值或范围问题逻辑推理、数学运算已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点．直线与椭圆的位置关系【解】直线l的方程与椭圆C的方程联立，y＝2x＋m，x24＋y22＝1，消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.①方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ0，即－32m32时，方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．判断直线与椭圆的位置关系的方法[注意]注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，求m的取值范围．解：因为直线y＝kx＋1过定点A(0，1)．由题意知，点A在椭圆x25＋y2m＝1内或椭圆上，所以025＋12m≤1，所以m≥1.又椭圆焦点在x轴上，所以m5，故m的取值范围为[1，5)．已知椭圆x236＋y29＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．(1)当直线l的斜率为12时，求线段AB的长度；(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．直线与椭圆的相交弦问题【解】(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝12(x－4)，即y＝12x.由y＝12x，x236＋y29＝1，可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.于是|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(x1－x2)2＋14(x1－x2)2＝52(x1＋x2)2－4x1x2＝52×62＝310，所以线段AB的长度为310.(2)法一：易知直线l的斜率存在，不妨设为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．联立x236＋y29＝1，y－2＝k(x－4)，消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝32k2－16k1＋4k2，由于AB的中点恰好为P(4，2)，所以x1＋x22＝16k2－8k1＋4k2＝4，解得k＝－12，且满足Δ0.这时直线的方程为y－2＝－12(x－4)，即y＝－12x＋4.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x2136＋y219＝1，x2236＋y229＝1，两式相减得x22－x2136＋y22－y219＝0，整理得kAB＝y2－y1x2－x1＝－9(x2＋x1)36(y2＋y1)，由于P(4，2)是AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，于是kAB＝－9×836×4＝－12，于是直线AB的方程为y－2＝－12(x－4)，即y＝－12x＋4.(变问法)试求满足条件(2)的线段AB的长度．解：由(2)知直线AB的方程为y＝－12x＋4，由y＝－12x＋4，x236＋y29＝1得x2－8x＋14＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，x1x2＝14，由弦长公式可得|AB|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2＝5264－56＝10，所以线段AB的长度为10.(1)直线与椭圆相交弦长的求法①直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．②求弦长的公式：设直线l的斜率为k，方程为y＝kx＋b，设端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2.(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则x21a2＋y21b2＝1，〈1〉x22a2＋y22b2＝1，〈2〉由〈1〉－〈2〉，得1a2(x21－x22)＋1b2(y21－y22)＝0，变形得y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2＝－b2a2·x0y0，即kAB＝－b2x0a2y0.已知椭圆ax2＋by2＝1(a0，b0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．解：法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①因为A，B为直线x＋y－1＝0上的点，所以y1－y2x1－x2＝－1.由已知得y1＋y2x1＋x2＝kOC＝22，代入①式可得b＝2a.因为直线x＋y－1＝0的斜率k＝－1.又|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22.所以|x2－x1|＝2，联立ax2＋by2＝1与x＋y－1＝0，可得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.且由已知得x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，所以x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b，所以4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2ba＋b2－4·b－1a＋b.②将b＝2a代入②式，解得a＝13，所以b＝23，所以所求椭圆的方程是x23＋2y23＝1.法二：由ax2＋by2＝1，x＋y－1＝0消去y，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b，且直线AB的斜率k＝－1，所以|AB|＝(k2＋1)(x1－x2)2＝(k2＋1)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2·4b2－4(a＋b)(b－1)a＋b.因为|AB|＝22，所以2·4b2－4(a＋b)(b－1)a＋b＝22，所以a＋b－aba＋b＝1.①设C(x，y)，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b.因为OC的斜率为22，所以yx＝ab＝22，将其代入①式得a＝13，b＝23，所以所求椭圆的方程为x23＋2y23＝1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．【解】(1)由4x2＋y2＝1，y＝x＋m，得5x2＋2mx＋m2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－52≤m≤52.与椭圆有关的最值或范围问题(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0，所以x1＋x2＝－2m5，x1x2＝15(m2－1)，所以|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝2(x1－x2)2＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝24m225－45(m2－1)＝2510－8m2，所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.(变问法)本例中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程．解：可求得O到AB的距离d＝|m|2，将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0.又|AB|＝2510－8m2，Δ＝20－16m2＞0，－52＜m＜52，所以S△AOB＝12|AB|·d＝12×2510－8m2·|m|2＝2554－m2m2≤25·54－m2＋m22＝14，当且仅当“54－m2＝m2”时，上式取“＝”，此时m＝±104∈－52，52.所以△AOB面积的最大值为14，面积最大时直线方程为x－y±104＝0.与椭圆有关的最值问题的求解方法求解椭圆中的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数的解析式，然后根据函数关系式的特征可化为：(1)二次函数的最值问题求解；(2)基本不等式的最值问题求解；(3)三角函数的最值问题求解．如图所示，点A，B分别是椭圆x236＋y220＝1的长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．解：(1)由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)，B(6，0)，设点P的坐标是(x，y)，则AP→＝(x＋6，y)，FP→＝(x－4，y)．由已知得x236＋y220＝1，(x＋6)(x－4)＋y2＝0.则2x2＋9x－18＝0,解得x＝32或x＝－6.由于y0，只能x＝32，于是y＝523，所以点P的坐标是32，523.(2)直线AP的方程是x－3y＋6＝0.设点M的坐标是(m，0)，则M到直线AP的距离是|m＋6|2，于是|m＋6|2＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2，所以点M的坐标是(2，0)．设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－59x2＝49x－922＋15，由于－6≤x≤6.所以当x＝92时，d取最小值15.1．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析：选B．直线y＝kx－k＋1恒过定点(1，1)．又因为129＋124＜1，所以点(1，1)在椭圆x29＋y24＝1的内部，所以直线y＝kx－k＋1与椭圆相交．故选B．2．过椭圆x225＋y29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB的长为()A．5B．6C．9017D．7解析：选C．椭圆的右焦点为(4，0)，直线的斜率为k＝1，所以直线AB的方程为y＝x－4，由y＝x－4，x225＋y29＝1，得9x2＋25(x－4)2＝225，由弦长公式易求|AB|＝9017.3．若过椭圆x216＋y24＝1内一点(2，1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．解析：设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2116＋y214＝1，x2216＋y224＝1，两式相减并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得，y1－y2x1－x2＝－12，所以所求直线方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.答案：x＋2y－4＝04．已知直线l：y＝x－12，椭圆C：x2＋4y2＝4.(1)求证：直线l与椭圆C有两个交点；(2)求连接这两个公共点所成线段的长．解：(1)证明：由y＝x－12，x2＋4y2＝4消去y得5x2－4x－3＝0.所以Δ＝(－4)2－4×5×(－3)＝76＞0，所以直线l与椭圆C有两个交点．(2)设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知x1＋x2＝45，x1·x2＝－35.所以|AB|＝(y2－y1)2＋(x2－x1)2＝2·(x2－x1)2＝2·(x1＋x2)2－4x1x2＝2·452－4×－35＝2538.