2019-2020学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．已知X的分布列为X－101P131313则①E(X)＝13，②D(X)＝2327，③P(X＝0)＝13，其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．3答案B答案解析E(X)＝(－1)×13＋0×13＋1×13＝0，故①不正确；D(X)＝(－1＋0)2×13＋(0＋0)2×13＋(1＋0)2×13＝23，故②不正确；③P(X＝0)＝13显然正确．解析2．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取1球，有放回地摸取5次，设摸得白球的个数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝()A.85B.65C.45D.25解析由题意知X～B5，3m＋3，所以E(X)＝5×3m＋3＝3，解得m＝2，所以X～B5，35，故D(X)＝5×35×25＝65.解析答案B答案3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ckn23k·13n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为()A．8B．12C.29D．16解析由题意可知ξ～Bn，23，∴23n＝E(ξ)＝24.∴n＝36.又D(ξ)＝n×23×1－23＝29×36＝8.解析答案A答案4．掷一枚质地均匀的骰子12次，则出现向上的一面是3的次数的均值和方差分别是()A．2和5B．2和53C．4和83D.72和1解析由题意知出现向上的一面为3的次数符合二项分布，掷12次骰子相当于做12次独立重复试验，且每次试验出现向上的一面为3的概率是16，∴E(ξ)＝12×16＝2，D(ξ)＝12×16×56＝53.故选B.解析答案B答案5．随机变量X的分布列为X－101Pabc若a，b，c成等差数列，E(X)＝13，则D(X)＝()A.49B.59C.13D.23答案B答案解析由题可得a＋b＋c＝1，－a＋c＝13，2b＝a＋c，解得a＝16，b＝13，c＝12，所以D(X)＝169×16＋19×13＋49×12＝59.故选B.解析二、填空题6．设X～B(n，p)，且E(X)＝15，D(X)＝454，则n，p的值分别为________和________．解析由题意，可知Ex＝np＝15，DX＝np1－p＝454，解得n＝60，p＝14.解析答案6014答案7．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数ξ的方差D(ξ)＝________.解析ξ的所有可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝2×29＝49，P(ξ＝1)＝C12×29＝49，P(ξ＝2)＝19，所以E(ξ)＝0×49＋1×49＋2×19＝23，D(ξ)＝0－232×49＋1－232×49＋2－232×19＝49.解析答案49答案8．设p为非负实数，随机变量X的分布列为X012P12－pp12则E(X)的最大值为________，D(X)的最大值为________．答案321答案解析E(X)＝0×12－p＋1×p＋2×12＝p＋1.又0≤12－p≤12，∴0≤p≤12.∴E(X)max＝32.D(X)＝(p＋1)212－p＋p2·p＋(p－1)2·12＝－p2－p＋1＝－p＋122＋54≤1，∴当p＝0时，D(X)max＝1.解析三、解答题9．如图，左边为四大名著，右边为名著作者，一位小学语文教师为了激发学生阅读名著的热情，在班内进行名著和其作者的连线游戏，作为奖励，参加连线的同学每连对一个奖励一朵小红花．假定一名小学生对四大名著没有了解，只是随机地连线，试求该学生得到小红花数X的分布列及其均值、方差．《三国演义》罗贯中《水浒传》施耐庵《西游记》吴承恩《红楼梦》曹雪芹解该小学生连线的情况有都连错，连对一个，连对二个，连对四个，故其得小红花数可能为0个，1个，2个，4个．P(X＝0)＝9A44＝924＝38，P(X＝1)＝C14×2A44＝824＝13，P(X＝2)＝C24×1A44＝624＝14，P(X＝4)＝1A44＝124.答案故X0124P381314124所以E(X)＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1，D(X)＝38×(0－1)2＋13×(1－1)2＋14×(2－1)2＋124×(4－1)2＝9＋0＋6＋924＝1.答案B级：能力提升练10．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．这两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：ξ10123P0.30.30.20.2乙保护区：ξ2012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．解甲保护区的违规次数ξ1的均值和方差为：E(ξ1)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(ξ1)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数ξ2的均值和方差为：E(ξ2)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D(ξ2)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.答案因为E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)，所以两个保护区内每季度发生的违规事件平均次数是相同的，但乙保护区内发生的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区内发生的违规事件次数相对分散和波动．因此乙保护区的管理水平较高．答案本课结束