2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项

2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和目标定位重点难点1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程．2．能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题.重点：等比数列的前n项和公式．难点：能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题.等比数列前n项和公式等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝________＝________；当q＝1时，Sn＝________.a11－qn1－qa1－anq1－qna1【答案】B1．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝1，a3＝4，则此数列的前n项和等于()A．2n＋1B．2n－1C．13(4n－1)D．13(4n＋1)2．等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋a，则a的值为()A．3B．0C．－1D．任意实数【答案】C3．等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为()A．1B．－12C．1或12D．1或－12【答案】D【解析】设等比数列{an}的公比为q，∵a3＝7，前3项之和S3＝21，∴S3＝7q2＋7q＋7＝21，解得q＝－12或q＝1，∴公比q的值为1或－12.故选D．4．设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，若a4，a3，a5成等差数列，则S4S2＝______.【答案】5【解析】等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠1)，∵a4，a3，a5成等差数列，∴2a3＝a4＋a5，即2a1q2＝a1q3＋a1q4，整理，得(q＋2)(q－1)＝0，解得q＝－2或q＝1(舍去)．则S4S2＝1－q41－q2＝1＋q2＝1＋(－2)2＝5.基本运算【例1】已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－43，则{an}的前10项和等于()A．－6(1－3－10)B．19(1－3－10)C．3(1－3－10)D．3(1＋3－10)【解题探究】由已知可知，数列{an}是以－13为公比的等比数列，结合已知a2＝－43可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求．【答案】C【解析】∵3an＋1＋an＝0，∴an＋1an＝－13.∴数列{an}是以－13为公比的等比数列．∵a2＝－43，∴a1＝4.∴S10＝41－－13101＋13＝3(1－3－10)．故选C．【方法规律】在等比数列{an}的五个基本量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以列方程组求解．正项等比数列{an}中，a2＝4，a4＝16，则数列{an}的前9项和等于________．【答案】1022【解析】∵{an}为正项等比数列，∴q2＝a4a2＝164＝4.∴q＝2，a1＝2.∴S9＝a11－q91－q＝2×1－291－2＝210－2＝1022.【例2】设{an}是任意等比数列，它的前n项和、前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()A．X＋Z＝2YB．Y(Y－X)＝Z(Z－X)C．Y2＝XZD．Y(Y－X)＝X(Z－X)【答案】D等比数列前n项和的性质【解析】由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z，又{an}是等比数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，即X，Y－X，Z－Y为等比数列，∴(Y－X)2＝X(Z－Y)，整理得Y2－XY＝ZX－X2，即Y(Y－X)＝X(Z－X)．故选D．【方法规律】等比数列前n项和的性质是在等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的性质的基础上推得的，因而利用有关性质可以简化计算，但通项公式、前n项和公式仍是解答等比数列问题最基本的方法．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3，则S9S6＝()A．2B．73C．83D．3【答案】B【解析】∵S6S3＝3，∴S6＝3S3.∴S6－S3S3＝2.∵S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，∴S9－S6S3＝22.∴S9＝4S3＋S6＝7S3.∴S9S6＝7S33S3＝73.故选B．前n项和公式的应用【例3】设数列1an是等比数列，Sn是{an}的前n项和，a1＝1，a2a3a4＝64.(1)求数列{an}的通项；(2)当数列{Sn＋λ}也是等比数列时，求λ的值．【解析】(1)∵数列1an是等比数列，∴数列{an}也是等比数列．设数列{an}的公比为q，则a33＝a2a3a4＝64，解得a3＝4，∴q2＝a3a1＝4，解得q＝±2.当q＝2时，an＝2n－1；当q＝－2时，an＝(－2)n－1.(2)当q＝2时，Sn＋λ＝1－2n1－2＋λ＝2·2n－1＋λ－1，当且仅当λ－1＝0，即λ＝1时，数列{Sn＋λ}是首项为2、公比为2的等比数列；当q＝－2时，Sn＋λ＝1－－2n1－－2＋λ＝23·(－2)n－1＋λ＋13，当且仅当λ＋13＝0，即λ＝－13时，数列{Sn＋λ}是首项为23、公比为－2的等比数列．∴λ的值为1或－13.【方法规律】等比数列的定义、通项公式及前n项和公式经常融进各类题型中，应熟练掌握，灵活应用．已知等比数列{an}的公比q＞0且a1＝1，4a3＝a2a4.(1)求公比q和a3的值；(2)若{an}的前n项和为Sn，求证：Snan＜2.【解析】(1)∵等比数列{an}的公比q＞0且a1＝1,4a3＝a2a4，∴4q2＝q4，解得q＝2.∴a3＝4.(2)证明：∵a1＝1，q＝2，∴an＝2n－1，Sn＝1－2n1－2＝2n－1.∴Snan＝2n－12n－1＝2－12n－1＜2.【示例】以数列{an}的任意相邻两项为横、纵坐标的点Pn(an，an＋1)(n∈N*)均在一次函数y＝2x＋k的图象上，数列{bn}满足bn＝an＋1－an(n∈N*)且b1≠0.(1)求证：数列{bn}是等比数列；(2)设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若S6＝T4，S5＝－9，求k的值．数列与函数的综合应用【分析】(1)本题考查等比数列与函数知识．由点Pn(an，an＋1)在一次函数y＝2x＋k的图象上，结合bn＝an＋1－an，求出bn与bn＋1之间的关系；(2)利用(1)中得到的结论求出Sn，Tn及其关系后利用S6＝T4，S5＝－9，求k的值．【解析】(1)由题意，得an＋1＝2an＋k，bn＝an＋1－an，∴bn＝2an＋k－an＝an＋k.∴bn＋1＝an＋1＋k＝(2an＋k)＋k＝2(an＋k)，即bn＋1＝2bn.∵b1≠0，∴bn＋1bn＝2(n∈N*)．∴数列{bn}是以2为公比的等比数列．(2)由(1)，得{bn}是公比为2的等比数列，∴Tn＝b11－2n1－2＝b1(2n－1)．由bn＝an＋k得Tn＝Sn＋nk，∴Sn＝b1(2n－1)－nk.∵S6＝T4，S5＝－9，∴63b1－6k＝15b1，31b1－5k＝－9，解得k＝8，b1＝1，∴k的值为8.【方法总结】本题是等比数列与函数、方程组合的综合性问题．注意由bn＝an＋k可得b1＋b2＋…＋bn＝a1＋a2＋…＋an＋nk，即Tn＝Sn＋nk.前n项和公式及应用(1)在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中，由前n项和公式结合通项公式，知道三个量便可求其余的两个量，同时还可利用前n项和公式解与之有关的实际问题；(2)在解题过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的应用，同时要注意在使用等比数列前n项和公式时，务必考虑公比q是否等于1，从而选择恰当的公式求解，特别是公比是字母时，要讨论．1．(2019年河南开封期末)设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N*)，则f(n)＝()A．27(8n－1)B．27(8n＋1－1)C．27(8n＋3－1)D．27(8n＋4－1)【答案】D【解析】f(n)可看作是以2为首项，23为公比的等比数列的前n＋4项和，∴f(n)＝2[1－23n＋4]1－23＝27(8n＋4－1)．故选D．【答案】C【解析】a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，等式两边分别相减得a4－a3＝3a3即a4＝4a3，∴q＝4.2．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于()A．2B．12C．4D．143．若等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－2，则a2＝()A．4B．12C．24D．36【答案】B【解析】∵Sn＝a·3n－2，∴a1＝S1＝a·31－2＝3a－2，a2＝S2－S1＝(9a－2)－(3a－2)＝6a，a3＝S3－S2＝(27a－2)－(9a－2)＝18a.∵{an}为等比数列，∴(6a)2＝(3a－2)×18a，解得a＝2或a＝0(舍去)．∴a2＝6a＝12.故选B．4．已知等比数列{an}中，q＝2，n＝5，Sn＝62，则a1＝________.【答案】2【解析】∵q＝2，n＝5，Sn＝62，∴a11－qn1－q＝62，即a11－251－2＝62，∴a1＝2.