2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第1课时 等比数列的定义及通项公式课

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．8解析∵a2010＝8a2007，∴q3＝a2010a2007＝8，∴q＝2.2．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为()A．180B．200C．128D．162解析由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n＝2n2.则此数列第20项＝2×102＝200.故选B.3．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则2a1＋a22a3＋a4的值为()A.14B.12C.18D．1解析原式＝2a1＋a2q22a1＋a2＝1q2＝14.4．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5a2，则an＝()A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n解析q3＝a5a2＝－8，∴q＝－2，又a5a2，可见a50，a20，从而a10，∴a1＝1，∴an＝(－2)n－1.二、填空题5．在8和5832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是________．648解析设公比为q，则8q6＝5832，∴q6＝729，∴q2＝9，∴a5＝8q4＝648.6．在等差数列{an}中，a1＝2，公差为d，且a2，a3，a4＋1成等比数列，则d＝________.2解析等差数列{an}中，a1＝2，公差为d，且a2，a3，a4＋1成等比数列，可得a23＝a2(a4＋1)，即为(2＋2d)2＝(2＋d)(2＋3d＋1)，化为d2－d－2＝0，解得d＝2或－1，若d＝2，即有4,6,9成等比数列；若d＝－1，即有1,0,0不成等比数列．则d＝2成立．故答案为2.7．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.5解析设公比为q，则3qn－1＝48，3q2n－4＝192⇒qn－1＝16，q2n－4＝64⇒q2＝4，得q＝±2.由(±2)n－1＝16，得n＝5.三、解答题8．设数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n.(1)求a3，a4；(2)证明：{an＋1－2an}是等比数列；(3)求{an}的通项公式．解(1)∵a1＝S1,2a1＝S1＋2，∴a1＝2，S1＝2.由2an＝Sn＋2n知2an＋1＝Sn＋1＋2n＋1＝an＋1＋Sn＋2n＋1，∴an＋1＝Sn＋2n＋1.①∴a2＝S1＋22＝2＋22＝6，S2＝8，a3＝S2＋23＝8＋23＝16，S3＝24，a4＝S3＋24＝40.(2)证法一：由题设和①式知an＋1－2an＝(Sn＋2n＋1)－(Sn＋2n)＝2n＋1－2n＝2n.∴数列{an＋1－2an}是首项为2，公比为2的等比数列．证法二：由Sn＝2an－2n，②得Sn＋1＝2an＋1－2n＋1.③③－②得an＋1＝2an＋1－2n＋1－2an＋2n，即an＋1－2an＝2n.∴数列{an＋1－2an}是首项为2，公比为2的等比数列．(3)由(2)知an＋1－2an＝2n，等号两端同时除以2n＋1，得an＋12n＋1－an2n＝12，∴数列an2n是以a12＝1为首项，以12为公差的等差数列，∴an2n＝1＋12(n－1)，即an＝(n＋1)·2n－1.9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an，若不存在，说明理由．解(1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3，当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9，当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.(2)假设{an＋λ}是等比数列，则(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.∴{an＋3}的首项为a1＋3＝6，公比为a2＋3a1＋3＝2.∴an＋3＝6×2n－1，∴an＝6×2n－1－3.10．数列{an}是公差不为零的等差数列，且a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，若b2＝5，求bn.解∵{an}是等差数列，∴a5＝a1＋4d，a8＝a1＋7d，a13＝a1＋12d.又a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，∴a28＝a5a13，即(a1＋7d)2＝(a1＋4d)·(a1＋12d)，解得d＝2a1，∴a5＝9a1，a8＝15a1.设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，则q＝a8a5＝53，又b2＝b1q＝5，即53b1＝5，解得b1＝3，∴bn＝3·53n－1.B级：能力提升练1．设{an}是公比为q的等比数列，|q|1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.－9解析由题意知等比数列{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q＝－32，∴6q＝－9.2．设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{an}的公比；(2)证明：对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．解(1)设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)．由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3.由a1≠0，q≠0，得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2或q2＝1(舍去)．所以q＝－2.(2)证明：对任意k∈N*，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0，所以对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．