2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.1 数列课件 苏教版必修5

数列预习课本P30～34，思考并完成以下问题(1)什么是数列？什么叫数列的通项公式？(2)怎样求数列的通项公式？(3)数列与函数有什么关系，数列通项公式与函数解析式有什么联系？[新知初探]1．数列的概念(1)定义：按照一定排列的一列数称为数列．(2)项：数列中的叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为)，a2称为第2项，…，an称为第n项．(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为．次序每个数首项{an}[点睛](1)数列中的数是按一定次序排列的．因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列．(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－1,1，－1,1，…；2,2,2，….2．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数的数列无穷数列项数的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列常数列的数列摆动数列从第项起，有些项它的前一项，有些项它的前一项的数列有限无限大于小于各项相等大于2小于3．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与之间的关系可以用来表示，那么这个叫做这个数列的通项公式．序号n一个公式[点睛](1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．公式[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1,1,1，…是无穷数列()(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列()(3)有些数列没有通项公式()解析：(1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．(2)错误，虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．(3)正确，某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．√×√2．在数列－1,0，19，18，…，n－2n2，…中，0.08是它的()A．第100项B．第12项C．第10项D．第8项解析：∵an＝n－2n2，令n－2n2＝0.08，解得n＝10或n＝52(舍去)．答案：C3．数列的通项公式为an＝3n＋1，n为奇数，2n－2，n为偶数，则a2·a3等于()A．70B．28C．20D．8解析：由an＝3n＋1，n为奇数，2n－2，n为偶数，得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.答案：C4．数列－21×2，42×3，－83×4，164×5，…，的一个通项公式为________．解析：观察各项知，其通项公式可以为an＝－2nnn＋1.答案：an＝－2nnn＋1数列的概念及分类[典例]下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？(1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3,4；(3)0,1,2,3,4，…；(4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6.[解](1)是集合，不是数列；(2)(3)(4)(5)是数列，其中(3)(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列，(4)是摆动数列，(5)是常数列．判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan＋1，则是递增数列；若满足anan＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则是摆动数列．[活学活用]1．①数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}；②数列1,0，－1，－2与－2，－1,0,1是相同的数列；③数列若用图象表示，从图象上看是一群孤立的点；④数列的项数是无限的．其中正确的是________(填序号)．解析：①不正确，数列不能用集合表示．②不正确，数列中的项是有次序的．次序不同表示不同的数列．③正确．④数列的项数有有限的，也有无限的．答案：③2．已知下列数列：(1)2010,2012,2014,2016,2018；(2)0，12，23…，n－1n，…；(3)1，12，14，…，12n－1，…；(4)1，－23，35…，－1n－1·n2n－1，…；(5)1,0，－1，…，sinnπ2，…；(6)9,9,9,9,9,9.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是______，常数列是______，摆动数列是________．(将合理的序号填在横线上)解析：(1)是有穷递增数列；(2)是无穷递增数列因为n－1n＝1－1n；(3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列；(5)是摆动数列，也是无穷数列；(6)是常数列，也是有穷数列．答案：(1)(6)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(6)(4)(5)[典例]根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)0.9,0.99,0.999,0.9999，…；(4)3,5,3,5,3,5，….[解](1)观察数列中的数字，可以看到0＝1－1，3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，可发现an＝n2－1.数列的通项公式(2)由观察法知这个数列的前四项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n·1nn＋1.(3)由于数列9,99,999,9999，…的通项公式为an＝10n－1.∴原数列的通项公式可记为an＝10－n·(10n－1)＝10n－110n＝1－110n.(4)由于数列的奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式可用分段形式表示，记为an＝3，n为正奇数，5，n为正偶数.由于3与5的平均数为3＋52＝4,4＋1＝5,4－1＝3.而“加1”与“减1”也就是(－1)n，故通项公式还可记为an＝4＋(－1)n.给出数列的前几项，求通项时，注意观察数列中各项与其序号的变化关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下4个方面来考虑：(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．(2)若n和n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控．(3)熟悉一些常见数列的通项公式．(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．[活学活用]写出下列数列的一个通项公式：(1)1，－3,5，－7,9，…；(2)112，223，334，445，…；(3)1,11,111,1111，….解：(1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．(2)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为nn＋1，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋nn＋1＝n2＋2nn＋1.(3)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9999，…，易知数列9,99,999,9999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝19(10n－1).求数列中的最大(小)项题点一：利用单调性求最值项1．已知an＝n－98n－99，则数列{an}中的最小项为________．解析：∵an＝n－99＋99－98n－99＝99－98n－99＋1，∴点(n，an)在函数y＝99－98x－99＋1的图象上，在直角坐标系中作出函数y＝99－98x－99＋1的图象，由图象易知，当x∈(0，99)时，函数单调递减．∴a9a8a7…a11，当x∈(99，＋∞)时，函数单调递减，∴a10a11…1.所以，数列{an}中最大的项是a10，最小的项是a9.答案：a9题点二：利用图象求最值项2．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是________．解析：根据题意并结合二次函数的性质可得：an＝－2n2＋29n＋3＝－2n2－292n＋3＝－2n－2942＋3＋8418，所以，n＝7时，an取得最大值，最大项a7的值为108.答案：108题点三：比较法求最值项解：法一：an＋1－an＝(n＋2)1011n＋1－(n＋1)1011n＝9－n1011n11，当n9时，an＋1－an0，即an＋1an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n9时，an＋1－an0，即an＋1an.3．已知数列{an}的通项公式是an＝n＋1·1011n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．则a1a2a3…a9＝a10a11a12…，故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×10119.法二：根据题意，令an－1≤an，an≥an＋1，(n1)即n×1011n－1≤n＋11011n，n＋11011n≥n＋21011n＋1，(n1)解得9≤n≤10.又n∈N*，则n＝9或n＝10.故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×10119.(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．(2)可以利用不等式组an－1≤an，an≥an＋1，(n1)找到数列的最大项；利用不等式组an－1≥an，an≤an＋1，(n1)找到数列的最小项．