2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第2课时 课后课时精练

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．符合递推关系式an＝2an－1的数列是()A．1,2,3,4，…B．1，2，2,22，…C．2，2，2，2，…D．0，2，2,22，…解析逐个验证，故选B.2．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则通项an可能是()A．5－3nB．3·2n－1－1C．5－3n2D．5·2n－1－3解析由a1＝2，an＋1＝2an＋3可得a2＝7，当n＝2时，经验证只有D适合．3．已知函数f(x)＝1－3ax＋10x≤6，ax－7x＞6，若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是递减数列，则实数a的取值范围是()A.13，1B.13，12C.13，56D.56，1解析由题意得1－3a＜0，0＜a＜1，f7＜f6，解得13a56.4．已知f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x≤0时，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，则a2021＝()A．2006B．12C．14D．－4解析由f(x)为偶函数得0≤x≤2时，f(x)＝2－x.又f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于x＝2对称．又f(x)的图象关于x＝0对称，∴f(x＋4)＝f(x)．∴an＋4＝an.∴a2021＝a4×505＋1＝a1＝f(1)＝f(－1)＝12.二、填空题5．数列53，108，17a＋b，a－b24，…中，有序数对(a，b)可以是____________．412，－112解析由分子中根号下的数比分母大2，可得a＋b＝15，a－b＝26，解得a＝412，b＝－112.6．若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为________(填写序号)．①an＝－2n＋1；②an＝－n2＋3n＋1；③an＝12n；④an＝(－1)n.①③解析可以通过画函数的图象一一判断．②中a1＝a2，④是摆动数列．7．已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2＋2an1－an，则a6＝________.－143解析∵an＋1＝2＋2an1－an＝21－an，a1＝－2，∴a2＝21－a1＝23，a3＝21－a2＝6，a4＝－25，a5＝107，a6＝－143.三、解答题8．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝nn＋1an.(1)写出数列{an}的前5项；(2)猜想数列{an}的通项公式；(3)画出数列{an}的图象．解(1)a1＝1，a2＝11＋1×1＝12，a3＝21＋2×12＝13，a4＝31＋3×13＝14，a5＝41＋4×14＝15.(2)猜想：an＝1n.(3)图象如图所示：9．设{an}是首项为1的正项数列且na2n＋1＋(n＋1)a2n－(2n＋1)anan＋1＝0(n∈N*)，求an.解由na2n＋1＋(n＋1)a2n－(2n＋1)anan＋1＝0，可得(an＋1－an)[nan＋1－(n＋1)an]＝0.当an＋1－an＝0，即an＋1＝an时，an＝a1＝1.当nan＋1－(n＋1)an＝0时，an＋1an＝n＋1n，所以an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1＝1·21·32·…·nn－1＝n.综上可知，an＝1(n∈N*)或an＝n(n∈N*)．10．已知an＝9nn＋110n(n∈N*)，试问：数列{an}有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，说明理由．解假设存在an为最大项，则an≥an－1，an≥an＋1，即9nn＋110n≥9n－1n10n－1，9nn＋110n≥9n＋1n＋210n＋1.解之即得8≤n≤9，故a8＝a9＝99108均为最大项．B级：能力提升练1．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足yx，结合图象，只有A满足，故选A.2．已知函数f(x)＝x－1x，数列{an}满足f(an)＝－2n，且an0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)判断数列{an}的增减性．解(1)∵f(x)＝x－1x，f(an)＝－2n，∴an－1an＝－2n，即a2n＋2nan－1＝0，解得an＝－n±n2＋1.∵an0，∴an＝n2＋1－n.(2)an＋1an＝n＋12＋1－n＋1n2＋1－n＝n2＋1＋nn＋12＋1＋n＋11.∵an0，∴an＋1an，∴数列{an}是递减数列．