2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 第5节 平面向量应用举例课件 新人教A版必修4

一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P109～P112的内容，回答下列问题．(1)利用向量方法可以解决平面几何中的哪些问题？提示：距离、夹角等问题．(2)利用向量方法可以解决物理中的哪些问题？提示：可以利用向量解决与力、位移、速度有关的问题．二、归纳总结·核心必记1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为；(2)通过，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．向量向量问题向量运算2.向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．(2)向量的加减运算体现在一些物理量的合成和分解中．(3)动量mv是向量的数乘运算．(4)功是力F与位移s的数量积．三、综合迁移·深化思维用向量解决几何问题时，有时需要选择合适的基底，你知道怎样选择合适的基底吗？提示：所选择基向量的长度和夹角应该是已知的．探究点一平面几何中的平行、垂直问题[典例精析]1.如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.[解]法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0a1)，则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝2a，＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋2a×a×cos45°＋2a×(1－a)×cos45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.法二：设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，x)，则D(0，1)，E(x，0)，F(1，x)，即DP⊥EF.[类题通法][针对训练]1．已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝14AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．探究点二平面几何中的长度问题[典例精析]2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝12AB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．[解](1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n，0)．∵D为AB的中点，∴Dn2，m2，即CD＝12AB.(2)∵E为CD的中点，∴En4，m4，即(x，－m)＝λn4，－34m.则x＝n4λ，－m＝－34mλ，故λ＝43，即x＝n3，∴Fn3，0，∴||＝13n2＋9m2，即AF＝13n2＋9m2.[类题通法]利用向量法解决长度问题的策略向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.[针对训练]2．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．＝a2－2a·b＋b2＝1＋4－2a·b＝5－2a·b＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝12，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴||＝6，即AC＝6.探究点三向量在物理中的应用[典例精析]3．在风速为75(6－2)km/h的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．[解]设ω＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞机的航行速度，vb＝va－ω.如图所示．＝|vb|，作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，则∠BAD＝45°.∴|vb|＝1502，即没有风时飞机的航速为1502km/h，方向为北偏西60°.[类题通法]利用向量法解决物理问题的步骤(1)抽象出物理问题的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题．[针对训练]3．已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50N，一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g取10m/s2)解：如图所示，设木块的位移为s，则WF＝F·s＝|F||s|cos30°＝50×20×32＝5003(J)．将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin30°＝50×12＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此Wf＝f·s＝|f||s|·cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F和f所做的功分别为5003J和－22J.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是平面向量在平面几何中的应用，难点是平面向量在物理中的应用．2．要掌握平面向量的应用(1)利用平面向量解决平面几何中的平行、垂直问题，见探究点一；(2)利用平面向量解决平面几何中的长度问题，见探究点二；(3)平面向量在物理中的应用，见探究点三.