2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 第2节 平面向量的线性运算 2.2.2 向量减法运

2.2.2向量减法运算及其几何意义一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P85～P86的内容，回答下列问题．(1)一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？若有，如何表示？提示：一个数x的相反数是－x.一个向量a有相反向量，记为－a.(2)任何一个数x与它相反数的和为0，那么向量a与它的相反向量的和是什么？提示：a＋(－a)＝0.(3)根据前一节所学的内容，你能作出向量a与b的差a－b吗？提示：可以，先作－b，再按向量加法的平行四边形法则或三角形法则作出a＋(－b)即可．二、归纳总结·核心必记1.相反向量与a的向量，叫做a的相反向量，记作．(1)规定：零向量的相反向量仍是；(2)－(－a)＝；(3)a＋(－a)＝＝；(4)若a与b互为相反向量，则a＝，b＝，a＋b＝．长度相等，方向相反－aa零向量(－a)＋a0－b－a02.向量的减法(1)定义：a－b＝a＋，即减去一个向量相当于加上这个向量的．(2)几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b，如图所示，即a－b可以表示为从指向的向量．(－b)相反向量向量b的终点向量a的终点三、综合迁移·深化思维(1)若两个非零向量a与b互为相反向量，则a与b应具备什么条件？提示：①长度相等；②方向相反．(2)相反向量与相反数一样吗？提示：不一样．相反数是两个数符号相反，绝对值相等，相反向量是指两个向量方向相反，模相等．(3)若a－b＝c－d，则a＋d＝b＋c成立吗？提示：成立．移项法则对向量的运算是成立的．探究点一向量的减法运算[典例精析][类题通法]1.向量减法运算的常用方法2.向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和；(2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．[针对训练]1．化简下列各式：探究点二向量减法及其几何意义[思考探究](1)已知两个非零向量a，b，如何作a－b?名师指津：求作两向量的差可以转化为两个向量的和，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，并指向被减向量．(2)a－b的几何意义是什么？名师指津：a－b的几何意义是：当向量a，b的始点相同时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量．[典例精析]2．(1)四边形ABCD中，若()A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c（1）题图（2）题图(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[解](1)＝a＋c－b.(2)法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.答案：(1)A[类题通法]求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．[针对训练]2．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：(1)b＋c－a；(2)a－b－c.如图所示．(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图，作▱OBEC，连接OE，连接AE，则＝a－(b＋c)＝a－b－c.探究点三利用已知向量表示未知向量[典例精析]3．如图，解答下列各题：[类题通法]利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个关键一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)三点注意①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系；②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；③注意在封闭图形中利用多边形法则．[针对训练][课堂归纳领悟]1．本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利用已知向量表示未知向量，难点是利用已知向量表示未知向量．2．要掌握向量减法的三个问题(1)向量的减法运算，见探究点一；(2)向量减法及其几何意义，见探究点二；(3)利用已知向量表示未知向量，见探究点三.3．掌握用已知向量表示某向量的基本步骤第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．