2019-2020学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何章末优化总结课件 北师大版选修2-1

专题一空间向量与空间位置关系向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合，给立体几何的研究带来了极大的方便，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．用空间向量判断空间中的位置关系是常用方法．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．[解析]在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.证明如下：设正方体的棱长为1，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意，得A1(0,0,1)，B(1,0,0)，E(0,1，12)，BA1→＝(－1，0,1)，BE→＝(－1,1，12)．设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n·BA1→＝0，n·BE→＝0，得－x＋z＝0，－x＋y＋12z＝0.所以x＝z，y＝12z.取z＝2，得n＝(2,1,2)．设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0≤t≤1)．又B1(1,0,1)，所以B1F→＝(t－1,1,0)．而B1F平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE⇔B1F→·n＝0⇔(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t－1)＋1＝0⇔t＝12⇔F为棱C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.专题二空间向量与空间角求空间角是一个重要的知识点，是高考必考的知识点，常见的空间角有：线线角、线面角、面面角．处理这类问题的常规方法是：将空间角转化为平面角，使已知量及所求角转化到同一三角形中，利用直角三角形或余弦定理来求解，而转化为平面角通常要根据三垂线定理等来实现，灵活性强，难度大．采用向量方法则较为固定，减少了思维量，但增大了运算量，要注意运算的准确性．如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)若PD＝AD，求二面角A­PB­C的余弦值．[解析](1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD.从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，且AD∩PD＝D.所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系D­xyz.则A1，0，0，B(0，3，0)，C－1，3，0，P(0，0,1).AB→＝(－1，3，0)，PB→＝0，3，－1，BC→＝－1，0，0.设平面PAB的法向量为n＝x，y，z，则n·AB→＝0，n·PB→＝0.即－x＋3y＝0，3y－z＝0.因此可取n＝3，1，3.设平面PBC的法向量为m，则m·PB→＝0，m·BC→＝0.可取m＝0，－1，－3.cos〈m，n〉＝－427＝－277.故二面角A­PB­C的余弦值为－277.专题三利用空间向量求空间距离距离问题是一个常见的题型，也是近几年高考的一个重点，常见的距离问题有点点距、点面距、点线距、线线距、线面距、面面距，线线距、线面距、面面距常转化为点线距、点面距问题利用向量法进行求解，解题的关键是求出平面的法向量．如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.求点A到平面PBC的距离．[解析]过点D作DE∥BC交AB于E，则E为AB的中点．因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CD，PD⊥DE.因为∠BCD＝90°，所以CD⊥BC.所以CD⊥DE.以D为坐标原点，DE，DC，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则D(0,0,0)，A(1，－1,0)，B(1，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)．PC→＝(0,1，－1)，BC→＝(－1,0,0)，设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，点A到平面PBC的距离为d，则由n⊥PC→，n⊥BC→，得y－z＝0，－x＝0，解得x＝0，y＝z.令z＝1，则y＝1，得n＝(0,1,1)．又PA→＝(1，－1，－1)，故d＝|PA→·n||n|＝22＝2.所以点A到平面PBC的距离为2.