2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 1 直线与直线的方程 1.5 平面直角坐标系中

预习课本P74～75，思考并完成以下问题(1)数轴上的两点间的距离公式是什么？(2)平面内两点间的距离公式是什么？1．5平面直角坐标系中的距离公式第一课时两点间的距离公式一、预习教材·问题导入两点间的距离公式1．数轴上：一般地，数轴上两点A，B对应的实数分别是xA，xB，则|AB|＝.2．平面直角坐标系中：一般地，若两点A，B对应的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝____________________.|xB－xA|x2－x12＋y2－y12[点睛]两点间的距离公式的特征两点间距离的平方等于两点横坐标之差与纵坐标之差的平方和．公式可简记为：“纵差方，横差方，加起来，开平方”．二、归纳总结·核心必记1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)原点O到点P(x，y)的距离为|OP|＝x2＋y2.()(2)平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关．()(3)平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式．()√×√三、基本技能·素养培优2．已知A(3,7)，B(2,5)，则A，B两点间的距离为()A．5B.5C．3D.293．已知两点A(a，－ab)和B(b，ab)，则|AB|等于()A．a＋bB．|a－b|C．－a－bD．|a＋b|答案：B答案：D4．已知直线上两点A(a，b)，B(c，d)，且a2＋b2－c2＋d2＝0，则()A．原点一定是线段AB的中点B．A，B一定都与原点重合C．原点一定在线段AB上，但不是线段AB的中点D．原点一定在线段AB的垂直平分线上解析：选D由a2＋b2－c2＋d2＝0得a2＋b2＝c2＋d2，即A，B两点到坐标原点的距离相等，故选D.考点一利用两点间距离公式求值[典例](1)若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为()A．(－2,0)B．(1,0)C．32，0D．(34，0)(2)直线2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离为_____________．[解析](1)设点M(x,0)(x＞0)，由题意可知，x2＋02＝52＋－32，解得x＝34.(2)直线2x＋my＋2＝0与x轴的交点为(－1,0)，与y轴的交点为0，－2m，所以两交点之间的距离为－1－02＋0＋2m2＝1＋4m2(m≠0)．[答案](1)D(2)1＋4m2(m≠0)使用两点间距离公式要注意结构特点，公式与两点的先后顺序无关，使用于任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷．[类题通法][针对训练]已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．解：设所求点P(x,0)，于是由|PA|＝|PB|得x＋12＋0－22＝x－22＋0－72，即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以，所求P点坐标为(1,0)，|PA|＝1＋12＋0－22＝22.[典例]已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状．[解]法一：∵|AB|＝3＋32＋－3－12＝213，|AC|＝1＋32＋7－12＝213，又|BC|＝1－32＋7＋32＝226，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．考点二两点间距离公式的应用法二：∵kAC＝7－11－－3＝32，kAB＝－3－13－－3＝－23，则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝1＋32＋7－12＝213，|AB|＝3＋32＋－3－12＝213，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．(1)计算两点间距离的方法①对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.②对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．(2)解答本题还要注意构成三角形的条件．[类题通法][针对训练]在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，求点P的坐标．解：设P点的坐标是(a，a＋4)，由题意可知|PM|＝|PN|，即a＋22＋a＋4＋42＝a－42＋a＋4－62，解得a＝－32，故P点的坐标是－32，52.考点三用解析法证明几何问题[典例]求证：等腰梯形的对角线相等．[证明]已知：等腰梯形ABCD.求证：|AC|＝|BD|.证明：以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．设A(－a,0)，D(b，c)，由等腰梯形的性质知B(a,0)，C(－b，c)．则|AC|＝－b＋a2＋c－02＝a－b2＋c2，|BD|＝b－a2＋c－02＝a－b2＋c2，∴|AC|＝|BD|.即等腰梯形的对角线相等．解析法证明几何问题的步骤(1)建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件；(2)进行有关的代数运算；(3)把代数运算结果“翻译”成几何关系．另外，如果题目中没有坐标系，则需要先建立坐标系．建立坐标系的原则是：尽量利用图形中的对称关系．[类题通法][针对训练]已知AO是△ABC的边BC的中线．求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．证明：以O点为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设B(－a,0)，C(a,0)，A(x，y)，由两点间距离公式得|AB|2＝(x＋a)2＋y2，|AC|2＝(x－a)2＋y2，∴|AB|2＋|AC|2＝2x2＋2y2＋2a2，|AO|2＝x2＋y2，|OC|2＝a2，|AO|2＋|OC|2＝x2＋y2＋a2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．