2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.2.1 对数函数的图象与性质课件

第二章基本初等函数(Ⅰ)2．2对数函数2．2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象与性质[目标]1.记住对数函数的定义、图象和性质；2.会利用对数函数的图象和性质解答有关问题；培养直观想象核心素养．[重点]对数函数的定义、图象和性质．[难点]对数函数性质的概括总结.课时作业要点整合夯基础典例讲练破题型课堂达标练经典知识点一对数函数的概念[填一填]1．一般地，我们把函数(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．2．对数函数y＝logax的定义域为，值域为R.y＝logax(0，＋∞)[答一答]1．为什么在对数函数中要求a0，且a≠1?提示：根据对数式与指数式的关系知，y＝logax可化为ay＝x，联想指数函数中底数的范围，可知a0，且a≠1.2．下列函数是对数函数的是()A．y＝loga2x(a0，a≠1)B．y＝loga(x2＋1)(a0，a≠1)C．y＝log1ax(a0，a≠1)D．y＝2lgx解析：在对数函数的定义表达式y＝logax(a0且a≠1)中，logax前面的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则不是对数函数．所以选C.C知识点二对数函数的图象与性质[填一填][答一答]3．怎样可以快速画出对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的草图？提示：根据对数函数的性质可知，对数函数的图象都经过点(1a，－1)，(1,0)，(a,1)，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数y＝logax的草图．4．对数函数y＝logax(a0且a≠1)，当a1，x取何值时，y0？x取何值时，y0？当0a1呢？提示：结合对数函数的图象可知，当a1时，若x1，则y0；若0x1，则y0.当0a1时，若x1，则y0；若0x1，则y0.类型一对数函数的概念[例1]已知对数函数f(x)的图象过点4，12.①求f(x)的解析式；②解方程f(x)＝2.[分析]根据已知设出函数解析式，代入点的坐标求出对数函数的底数；然后利用“指对互化”解方程．[解]①由题意设f(x)＝logax(a0，且a≠1)，由函数图象过点4，12可得f(4)＝12，即loga4＝12，所以4＝a12，解得a＝16，故f(x)＝log16x.②方程f(x)＝2，即log16x＝2，所以x＝162＝256.利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如logam＝n，这时先把对数式logam＝n化为指数式的形式an＝m，把m化为以n为指数的指数幂形式m＝knk0，且k≠1，解得a＝k0.还可以直接写出a＝m1n，再利用指数幂的运算性质化简m1n.[变式训练1](1)已知对数函数f(x)的图象过点(8,3)，则f132＝.(2)已知函数f(x)＝(2m2－m)logax＋m－1是对数函数，则m＝.解析：(1)设f(x)＝logax(a0，且a≠1)，则3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.∴f(x)＝log2x，f132＝log2132＝log22－5＝－5.(2)因为函数f(x)是对数函数，则2m2－m＝1，m－1＝0，解得m＝1.－51类型二对数函数图象的有关问题命题视角1：对数函数的底与图象变化的关系[例2]对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx在同一坐标系内的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是________．abcd[解析]利用数形结合法，画出直线y＝1判断，亦可根据在第一象限内顺时针旋转底数逐渐增大解决．如图，作直线y＝1，则该直线与各函数图象必各交于一点，由logaa＝1可知，各交点的横坐标分别为各函数底数，从而可知abcd.在第一象限内顺时针旋转，底数逐渐增大，故abcd.当0a1时，对数函数的图象是下降的，而且随着a由大变小，图象下降的速度变慢．当a1时，对数函数的图象是上升的，而且随着a由小变大，图象上升的速度变慢．[变式训练2]已知a0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是()B解析：方法一若0a1，则函数y＝ax的图象下降且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图象上升且过点(－1,0)，以上图象均不符合．若a1，则函数y＝ax的图象上升且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图象下降且过点(－1,0)，只有B中图象符合．方法二首先指数函数y＝ax的图象只可能在上半平面，函数y＝loga(－x)的图象只可能在左半平面，从而排除A，C；再看单调性，y＝ax与y＝loga(－x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合．命题视角2：图象过定点问题[例3]函数y＝loga(x＋1)－2(a0，且a≠1)的图象恒过点________．[解析]因为函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．(0，－2)求函数y＝m＋logafxa0，且a≠1的图象过的定点时，只需令fx＝1求出x，即得定点为x，m.[变式训练3]函数y＝2loga|1－x|＋1(a0且a≠1)的图象恒过定点．解析：令|1－x|＝1，则x＝0或2，此时y＝1.所以函数图象过定点(0,1)或(2,1)．(0,1)或(2,1)命题视角3：对数函数图象的变换与识别[例4]作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．[分析]充分利用图象变换，即平移变换、翻折变换作图象．[解]第一步：作出y＝log2x的图象(如图(1))；第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度得y＝log2(x＋1)的图象(如图(2))；第三步：将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得y＝|log2(x＋1)|的图象(如图(3))；第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，得到y＝|log2(x＋1)|＋2的图象(如图(4))．(1)作函数图象的基本方法是列表描点法．另外，对形如y＝f(|x|)的函数，可先作出y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，再作关于y轴对称的图象，即可得到y＝f(|x|)的图象．对于函数y＝|f(x)|，可先作出y＝f(x)的图象，然后x轴上方的不动，下方的关于x轴翻折上去即可得到y＝|f(x)|的图象．(2)如果只需要作出函数的大致图象时，可采用图象变换的方法．[变式训练4]画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间：(1)y＝log3(x－2)；(2)y＝|log12x|.解：(1)函数y＝log3(x－2)的图象如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R，在区间(2，＋∞)上是增函数．(2)y＝|log12x|＝log12x，0x≤1，log2x，x1，其图象如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．类型三对数函数的定义域[例5]求下列函数的定义域：(1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log1－x5；(3)y＝log0.54x－3.[分析]函数解析式有意义→列关于自变量的不等式组→得定义域[解](1)要使函数式有意义，需1－x0，解得x1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x1}．(2)要使函数式有意义，需1－x0，1－x≠1，解得x1，且x≠0，所以函数y＝log1－x5的定义域是{x|x1，且x≠0}．(3)要使函数式有意义，需4x－30，log0.54x－3≥0，解得34x≤1，所以函数y＝log0.54x－3的定义域是{x|34x≤1}．定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.[变式训练5]求下列函数的定义域．(1)f(x)＝11－log3x－1；(2)f(x)＝解：(1)由x－10，log3x－1≠1，得x1，x≠4.∴定义域为(1,4)∪(4，＋∞)．1．若f(x)＝，则f(x)的定义域为()A．(－12，0)B．(－12，＋∞)C．(－12，0)∪(0，＋∞)D．(－12，2)解析：由题得：2x＋10，2x＋1≠1，解得x－12且x≠0.C2．函数y＝2＋log5x(x≥1)的值域为()A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．[2，＋∞)D．[3，＋∞)解析：由x≥1知log5x≥0，y≥2，值域是[2，＋∞)．C3．函数y＝loga(x－1)－1的图象过定点．解析：∵令x－1＝1，则y＝－1，∴该函数过定点(2，－1)．(2，－1)4.函数f(x)＝ax＋bx≤0，logcx＋19x0的图象如图所示，则a＋b＋c＝.133解析：由图象可求得直线的方程为y＝2x＋2，又函数y＝logc(x＋19)的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c＝13，所以a＋b＋c＝2＋2＋13＝133.5．设a1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，求实数a的值．解：∵a1，∴f(x)＝logax在(0，＋∞)上是增函数．∴最大值为f(2a)，最小值为f(a)．∴f(2a)－f(a)＝loga2a－logaa＝12，即loga2＝12.∴a＝4.——本课须掌握的两大问题1．只有形如y＝logax(a0且a≠1)的函数才是对数函数．例如，y＝log3x，y＝log14x等都是对数函数；而y＝log3(x＋1)，y＝2log3x等都不是对数函数．2．在对数函数y＝logax(a0，且a≠1)中，无论a取何值，对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，函数图象落在第一、四象限，且当0a1时函数单调递减，当a1时函数单调递增．