2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.1.2 指数函数及其性质 第1课时

2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质目标定位重点难点1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的有关性质.重点：指数函数的图象与性质.难点：运用指数函数的图象与性质解决有关数学问题.1.指数函数的定义函数____________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.y＝ax(a0，且a≠1)2.指数函数的图象和性质指数函数a＞10＜a＜1图象定义域R值域____________过定点过点______，即x＝____时，y＝____性质单调性是R上的______是R上的______(0，＋∞)(0,1)01增函数减函数1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数的图象一定在y轴的左侧.()(2)当a1时，对于任意x∈R总有ax0.()(3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数.()【答案】(1)×(2)√(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若f(x)＝(a2－3)ax是指数函数，则a＝______.(2)若函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的图象过点(2,9)，则f(x)＝________.【答案】(1)2(2)3x3.思一思：指数函数解析式中底数a能否小于0或等于0?【解析】不能.因为当a0时，ax不一定有意义，如(－2)x；当a＝0时，0x不一定有意义，如00,0－2，故a的取值范围不能小于或等于0.【例1】给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是()A．0B．1C．2D．4【解题探究】判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝ax(a0且a≠1)这一形式，否则就不是指数函数.指数函数的概念【答案】B【解析】①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－2＜0，不是指数函数.【方法规律】1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.1．已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，求a，b的值．【解析】由指数函数定义可知2b－3＝1，即b＝2.将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2.【例2】若函数y＝ax＋b－1(a＞0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有()A．0＜a＜1，b＞0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＜0D．a＜1，b＞0【解题探究】根据题意画出函数y＝ax＋b－1的大致图象，借助函数的单调性及图象过定点来解决.指数函数的图象问题【答案】C【解析】根据题意画出函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的大致图象，如图所示.所以0＜a＜1，且f(0)＝1＋b－1＜0，即0＜a＜1，且b＜0.故选C．【方法规律】1.无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.2.处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0,1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响.2.如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜c【答案】B【解析】作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜C．故选B．指数函数的定义域、值域问题【例3】求下列函数的定义域与值域：(1)y＝23－|x|；(2)y＝1－12x.【解题探究】利用换元思想转化为与指数函数有关的不等关系求解.【解析】(1)定义域为x∈R.∵|x|≥0，∴y＝23－|x|＝32|x|≥320＝1.故y＝23－|x|的值域为{y|y≥1}.(2)∵1－12x≥0，∴12x≤1.由y＝12x，可知x≥0，即定义域为[0，＋∞).又∵012x≤1，∴0≤1－12x1，即0≤y1.∴y＝1－12x的值域为[0,1).【方法规律】指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝fax型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组).(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性.3.求函数y＝12x2－2x－3的定义域和值域.【解析】定义域为R.∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴12x2－2x－3≤12－4＝16.又12x2－2x－30，∴函数y＝12x2－2x－3的值域为(0,16].【示例】若函数f(x)＝ax－1(a0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值.忽略分类讨论致求指数型函数值域出错【错解】由题意可知a0－1＝0，a2－1＝2，解得a＝3.【错因】虽然结果正确，但解题过程缺少步骤，没有分类讨论的意识.实际上在不知底数a的取值的情况下，要对a的取值分a1和0a1两种情况讨论.【正解】当a1时，函数f(x)＝ax－1在[0,2]上是增函数，由题意，可知a0－1＝0，a2－1＝2，解得a＝3.当0a1时，函数f(x)＝ax－1在[0,2]上是减函数，由题意，可知a0－1＝2，a2－1＝0，此时a无解.【警示】1.在解题的时候切记分类讨论思想的应用.2.对一些常用的函数的性质要记准、记牢，避免不必要的错误.3.做解答题时注意解题的规范性，不要漏掉步骤而使解题过程不完整.1.指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f(0)＝1.2.当a＞1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.当0＜a＜1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.1.已知1nm0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为()【答案】C【解析】由于0mn1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A和B．作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C．【答案】B【解析】由题意知此函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数1－2a1，解得a0.2.若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为()A．12，＋∞B．(－∞，0)C．－∞，12D．－12，123．(2019年山东青岛期中)已知函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A，则A的坐标为()A．(0,1)B．(2,3)C．(3,2)D．(2,2)【答案】B【解析】由a0＝1知，当x－2＝0，即x＝2时，f(2)＝3，即图象必过定点(2,3)．4.函数f(x)＝13x－1，x∈[－1,2]的值域为________.【答案】－89，2【解析】∵－1≤x≤2，∴19≤13x≤3.∴－89≤13x－1≤2.∴值域为－89，2.5.已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点2，12，其中a0且a≠1.(1)求a的值；(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域.【解析】(1)因为函数图象过点2，12，所以a2－1＝12，则a＝12.(2)f(x)＝12x－1(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1，于是012x－1≤12－1＝2.所以函数的值域为(0,2].