2019-2020学年高中数学 第二章 概率 6 正态分布课件 北师大版选修2-3

[自主梳理]一、连续型随机变量离散型随机变量的取值是可以___________的，但在实际应用中，还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值，是不可以一一列举的，这种随机变量称为_________________．二、正态分布我们把函数f(x)＝1σ2πe－x－μ22σ2，x∈(－∞，＋∞)的图像称为正态分布密度曲线，其中μ表示_______，σ2(σ0)表示________．通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．一一列举连续型随机变量均值方差三、正态分布密度函数的性质1．函数图像关于直线________对称；2．σ(σ0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”；3．正态变量在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σXμ＋σ)＝________；P(μ－2σXμ＋2σ)＝________；P(μ－3σXμ＋3σ)＝________.四、3σ原则通常服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率只有________．.x＝μ3.68.3%95.4%99.7%0.3%[双基自测]1．正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为()A．P1＝P2B．P1＜P2C．P1＞P2D．不确定解析：根据正态曲线的特点，图像关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．A解析：P(X≤2)＝(1－P(2＜X＜6))×12＝(1－P(4－2＜X＜4＋2))×12＝(1－0.954)×12＝0.023.2．如果随机变量X～N(4,1)，则P(X≤2)等于________．0.023探究一正态分布密度曲线及其性质[例1]右图是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3时的三种正态分布密度曲线N(0，σ2)的图像，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ11σ2σ30B．0σ1σ21σ3C．σ1σ21σ30D．0σ1σ2＝1σ3[解析]利用正态曲线的性质求解，当μ＝0，σ＝1时，正态密度曲线f(x)＝12πe－x22，在x＝0时，取最大值12π，故σ2＝1.由正态密度曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0σ1σ2＝1σ3.故选D.[答案]D正确理解正态密度曲线的图像及性质，正态曲线函数的系数是1σ2π，指数是－x－μ22σ2，要记准结构，正确使用．1．如图是一个正态曲线，试根据图像写出其正态分布的分布密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差．解析：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.12π·σ＝12π，解得σ＝2.于是概率密度函数的解析式是f(x)＝12π·e－x－2024，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.探究二求正态分布下的概率[例2]设X～N(6,1)，求P(4X5)．[解析]由已知，μ＝6，σ＝1，∵P(5X7)＝P(μ－σXμ＋σ)＝0.683，P(4X8)＝P(μ－2σXμ＋2σ)＝0.954.P(4X5)＋P(7X8)＝P(4X8)－P(5X7)＝0.271.如图，由正态密度曲线的对称性知P(4X5)＝P(7X8)，P(4X5)＝12[P(4X8)－P(5X7)]＝12×0.271＝0.1355.解答此类题目的关键在于充分利用正态密度曲线的对称性把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，在此过程中充分体现了数形结合及化归的数学思想．这种数形结合的思想在本部分经常用到，一定要时刻记着使用．2．已知X～N(－1，σ2)，若P(－3≤X≤－1)＝0.3，则P(－3≤X≤1)的值为________．解析：∵X～N(－1，σ2)，∴P(－3≤X≤－1)＝P(－1≤X≤1)＝0.3，∴P(－3≤X≤1)＝2P(－3≤X≤－1)＝0.6.答案：0.6探究三正态分布的应用[例3]在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,102)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？[解析]∵ξ～N(90,102)，∴μ＝90，σ＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.683，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.683.一共有2000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2000×0.683＝1366(人)．求解正态分布应用题的技巧解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间属于上述三个区间中的哪一个．然后求出相应的概率，从而估算某一个区间上的人数．3．有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布，即X～N(20,4)．若这批零件共有5000个．试求(1)这批零件中尺寸在18mm～22mm间的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸在24mm～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？解析：(1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2.∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22.于是零件尺寸X在18mm～22mm间的零件所占百分比大约是68.3%.(2)∵μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴零件尺寸X在14mm～26mm间的百分比大约是99.7%，而零件尺寸X在16mm～24mm间的百分比大约是95.4%.∴零件尺寸在24mm～26mm间的百分比大约是99.7%－95.4%2＝2.15%.因此尺寸在24mm～26mm间的零件大约有5000×2.15%≈108(个)．正态分布的实际应用[典例](本题满分12分)在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有15人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？[解](1)设学生的成绩为X，共有n人参加竞赛，因为X～N(60,100)，所以μ＝60，σ＝10.………………………………………………………………………………2分所以P(X≥90)＝12[1－P(30＜X＜90)]＝12(1－0.997)＝0.0015.………………4分又P(X≥90)＝15n，所以15n＝0.0015，所以n＝10000.………………………………………………………………………………………6分(2)设受奖学生的分数线为x0.则P(X≥x0)＝22810000＝0.0228.…………………………………………………8分因为0.0228＜0.5，所以x0＞60.所以P(120－x0＜X＜x0)＝1－2P(X≥x0)＝0.9544，…………………………10分所以x0＝60＋20＝80.故受奖学生的分数线是80分.…………………………………………………12分[规范与警示]1.在处，能根据正态分布的概率求解思路求出正确的概率结果是解决本题的关键点．在处，若对正态分布概率间的转化不熟，则导致出错，是解答本题的易失分点．在处，正确利用正态分布的图像特征使问题获解．2．防范措施：(1)把握正态分布图像的对称性．强化对其图像对称性的认识，可较好地解决与之相关的概率问题，如本例先后两次利用了图像的对称性求其概率．(2)强化转化意识．求解此类问题的关键是实际问题数学模型化，如本例在求解过程中，反复利用正态分布的“3σ原则”解题，突出了转化及化归思想的应用．已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度X服从N(200,182)．(1)计算取得的这件材料的强度不低于182的概率；(2)如果所用的材料在以98%的概率保证强度不低于164，问这批材料是否符合这个要求？解析：(1)X～N(μ，σ2)，其中μ＝200，σ＝18，而182＝200－18＝μ－σ，∴P(182＜X≤218)＝0.683.又1＝P(X≤182)＋P(182＜X≤218)＋P(X＞218)，且由正态曲线的对称性可知，P(X≤182)＝P(X＞218)，∴P(X≤182)＝12(1－0.683)＝0.1585.∴P(X≥182)＝1－P(X≤182)＝1－0.1585＝0.8415.故所求的概率为0.8415.(2)由题意有P(X≥164)＝0.98.而164＝μ－2σ，∴P(164≤X≤236)＝0.954.又由正态曲线的对称性可知P(X＜164)＝P(X＞236)，且P(X＜164)＋P(164≤X≤236)＋(X＞236)＝1，∴P(X≥164)＝1－P(X＜164)＝0.977＜0.98.故这批材料不符合这个要求．