2019-2020学年高中数学 第二章 概率 5 离散型随机变量的均值与方差 第二课时 离散型随机变

[自主梳理]一、离散型随机变量的方差的含义设X是一个离散型随机变量，用___________来衡量X与EX的平均偏离程度，E(X－EX)2是(X－EX)2的期望，称____________为随机变量X的方差，记为_____．DX＝____________________________________________.二、方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系方差越大，随机变量的取值越______；方差越小，随机变量的取值就越集中在其______周围．E(X－EX)2E(X－EX)2DX(x1－EX)2p1＋(x2－EX)2p2＋…＋(xn－EX)2pn分散均值三、方差的性质当a，b均为常数时，随机变量函数η＝aξ＋b的方差Dη＝D(aξ＋b)＝________.特别地：(1)当a＝0时，D(b)＝________，即常数的方差等于0；(2)当a＝1时，D(ξ＋b)＝________；(3)当b＝0时，D(aξ)＝________.a2Dξ0Dξa2Dξ[双基自测]1．设随机变量X的方差DX＝1，则D(2X＋1)的值为()A．2B．3C．4D．5C解析：D(2x＋1)＝4DX＝4×1＝4.2．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则Dξ等于()A.158B.154C.52D．5解析：∵ξ～B(10，14)，∴Dξ＝10×14×(1－14)＝158.A3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝13，k＝3,6,9，则DX＝________.解析：EX＝3×13＋6×13＋9×13＝6，DX＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.6探究一离散型随机变量的方差[例1]已知X的分布列为：X010205060P1325115215115(1)求DX；(2)设Y＝2X－EX，求DY.[解析](1)∵EX＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴DX＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384.(2)解法一Y的分布列为：Y－1642484104P1325115215115∴EY＝－16×13＋4×25＋24×115＋84×215＋104×115＝16.∴DY＝(－16－16)2×13＋(4－16)2×25＋(24－16)2×115＋(84－16)2×215＋(104－16)2×115＝1536.解法二DY＝D(2X－EX)＝4DX＝4×384＝1536.1．已知随机变量X的分布列如下表：X－101P121316(1)求EX，DX，DX；(2)设Y＝2X＋3，求EY，DY.解析：(1)EX＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；DX＝(x1－EX)2·p1＋(x2－EX)2·p2＋(x3－EX)2·p3＝59；DX＝53.(2)EY＝2EX＋3＝73；DY＝4DX＝209.探究二二项分布的方差、标准差[例2]为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株树，数学期望Eξ为3，方差为32.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．[解析]由题意知，ξ～B(n，p)，P(ξ＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n.(1)由Eξ＝np＝3，Dξ＝np(1－p)＝32，得1－p＝12，从而n＝6，p＝12.ξ的分布列为：ξ0123456P164664156420641564664164(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝1＋6＋15＋2064＝2132或P(A)＝1－P(ξ3)＝1－15＋6＋164＝2132.所以需要补种沙柳的概率为2132.方差计算运算量较大，但若能服从二项分布，则计算方差可按简便的方差计算公式，因而需要先判别是不是二项分布．2．某运动员投篮一次的命中率为0.6，每次投篮投中与否相互独立，求：(1)投篮一次时命中次数X的均值与方差；(2)连续5次投篮时，命中次数Y的均值与方差．解析：(1)投篮一次命中次数X的分布列为：X01P0.40.6则EX＝0×0.4＋1×0.6＝0.6；DX＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.(2)由题意，连续5次投篮，相当于进行5次独立重复试验，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)．由二项分布的均值与方差的公式，得EY＝5×0.6＝3，DY＝5×0.6×0.4＝1.2.探究三方差的实际应用[例3]有甲、乙两种钢筋，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度指标如下：X甲110120125130135P0.10.20.40.10.2X乙100115125130145P0.10.20.40.10.2其中X甲，X乙分别表示甲、乙两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的平均抗拉强度不低于120.试比较甲、乙两种钢筋哪一种质量较好？[解析]EX甲＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，EX乙＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.又DX甲＝(110－125)2×0.1＋(120－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(135－125)2×0.2＝50，DX乙＝(100－125)2×0.1＋(115－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(145－125)2×0.2＝165.由EX甲＝EX乙可知，甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度是相等的，且平均抗拉强度都不低于120.但由于DX甲DX乙，即乙种钢筋的抗拉强度指标与平均值偏差较大，故可认为甲种钢筋的质量好于乙种钢筋．均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，方差大，说明随机变量取值较分散，方差小，说明取值较集中．3．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X、Y，X和Y的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较．X012P610110310Y012P510310210解析：工人甲生产出次品数X的期望和方差分别为：EX＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，DX＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81.工人乙生产出次品数Y的期望和方差分别为：EY＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，DY＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由EX＝EY知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但DX＞DY，可见乙的技术水平比较稳定．方差在解决实际问题中的应用[典例](本题满分12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．[解](1)当n≥16时，y＝16×(10－5)＝80.………………………………………1分当n≤15时，y＝5n－5(16－n)＝10n－80.………………………………………3分得：y＝10n－80n≤1580n≥16(n∈N)．……………………………………………4分(2)①X可取60,70,80.……………………………………………………………5分P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.………………………………………………………………………………………7分X的分布列为X607080P0.10.20.7…………………………………………………………………………………………8分EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，DX＝162×0.1＋62×0.2＋42×0.7＝44.……………………………………………9分②花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.Y的方差为DY＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.…………………………………………………………………………………………11分由以上的计算结果可以看出，DX＜DY，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然EX＜EY，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．…………………………………………………………………………………………12分[规范与警示]1.在处，准确把握了题设信息，正确地写出了利润y与当天需求量n的函数关系，是解决本题的关键点．若对变量X理解不到位，导致处错误，致使分布列及均值、方差均出错，是解决本题的易失分点，在处准确计算，又是解决本题的一个关键点．2．防范措施：(1)建模信息的提取．熟读题设信息，把实际问题数学模型化是解决该类问题的关键．如本例的函数模型的建立用到了分段函数的建模思想．(2)理解期望、方差的实际意义．期望、方差是随机变量的数字特征，能够反映数据的整体情况，理解期望、方差的实际意义是求解此类问题的关键，如本例(2)②.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X和Y，且X，Y的分布列为X123Pa0.10.6Y123P0.3b0.3求：(1)a，b的值；(2)计算X，Y的数学期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．解析：(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知，a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.(2)EX＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，EY＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，DX＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，DY＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于EX＞EY，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但DX＞DY，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势和劣势．