2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系章末归纳整合课件 新人教A版必修

章末归纳整合分类讨论思想是一种“化繁为简、化整为零，分别对待，各个击破，再化零为整”的思维策略．由于需要分类讨论的问题存在着诸多不确定性，所以在应用分类讨论思想时应明确分类的对象，确定对象的全体；确定分类的标准，正确分类；逐类进行讨论，获得阶段性的结果；归纳小结，综合结论．分类讨论思想【例1】已知一个平面把空间分成两部分，两个平面把空间可分成3部分或4部分，那么三个平面能把空间分成几部分，你能归纳出n个平面最多能把空间分成几部分吗？【解析】设三个平面分别为α，β，γ，由于平面是无限延伸的：当平面α，β，γ的位置关系如图①所示时，将空间分成4部分；当平面α，β，γ的位置关系如图②所示时，将空间分成6部分；当平面α，β，γ的位置关系如图③所示时，将空间分成6部分；当平面α，β，γ的位置关系如图④所示时，将空间分成7部分；当平面α，β，γ的位置关系如图⑤所示时，将空间分成8部分．因此n个平面最多能把空间分成2n个部分．空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种情形，而两条直线垂直有“相交垂直”和“异面垂直”两种情形，在解题时，有时要利用这些结论分情况讨论．【变式训练1】如果平面α外有两点A，B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．AB⊂α【答案】C【解析】结合图形可知选项C正确．通过添加辅助线或面，将空间几何问题转化为平面几何问题，这是一种降维转化思想．线线、线面、面面的位置关系可以相互转化，使它们建立联系，揭示本质．点面距、线面距、面面距、点线距之间也可相互转化．例如求点面距时，可沿平行线平移，找到一个合适的点求点面距离，这就体现了“点面距→线面距→点面距”的转化思想．等价转化思想1．线线、线面、面面之间位置关系的转化【例2】(2017年北京)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．【分析】(1)要证线线垂直，应转化为证线面垂直，再得线线垂直；(2)要证面面垂直，应转化为证线面垂直，进而转化到先证线线垂直，借助(1)的结论和已知条件可证；(3)要求锥体的体积，应先找出底面和确定其对应的高，关键是证明线面垂直，借助(1)的结论可证．【解析】(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC．又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD．(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC．由(1)知PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC．因为BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC．(3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.因为D为AC的中点，所以DE＝12PA＝1，BD＝DC＝2.由(1)知PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC．所以三棱锥E－BCD的体积V＝16BD·DC·DE＝13.转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为【变式训练2】在斜三棱柱A1B1C1－ABC(侧棱与底面不垂直)中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.若D是BC的中点．(1)求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于M，若AM＝MA1，求证：平面MBC1⊥侧面BB1C1C.【证明】(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵底面ABC⊥侧面BB1C1C.∴AD⊥侧面BB1C1C.∴AD⊥CC1.(2)取BC1的中点E，连接ME，DE.∵D为BC的中点，∴DE∥CC1，DE＝12CC1.∵AA1∥CC1，AA1＝CC1且M为AA1的中点，∴AM∥CC1且AM＝12CC1.∴DE∥AM，DE＝AM.∴ADEM是平行四边形．∴EM∥AD.∵AD⊥平面BB1C1C，∴EM⊥平面BB1C1C.又EM⊂平面MBC1，∴平面MBC1⊥侧面BB1C1C.2．距离之间关系的转化【例3】如图所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G.(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离．【解析】(1)证明：连接AC.∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD.又AC⊥DD1且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵E，F分别为棱AB，BC的中点，∴EF∥AC.∴EF⊥平面BDD1B1.∵EF⊂平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.(2)∵平面B1EF⊥平面BDD1B1且交线为B1G，∴作D1H⊥B1G于H，则D1H⊥平面B1EF，即D1H为D1到平面B1EF的距离．∵B1D1∥BD，∴∠D1B1H＝∠B1GB.∴sin∠D1B1H＝sin∠B1GB＝442＋12＝417.△D1B1H中，D1B1＝4，sin∠D1B1H＝417，∴D1H＝1617＝161717.求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段．可通过外形进行转化，转化为易于求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法．【变式训练3】已知△ABC，AC＝BC＝1，AB＝2，S是△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝5，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离．【解析】方法一：如图所示，连接PA，PB.可知△SAC，△SBC，△ACB是直角三角形，所以SA⊥AC，BC⊥AC.取AB，AC的中点E，F，连接PF，EF，PE，则EF∥BC，PF∥SA.所以EF⊥AC，PF⊥AC.因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF.又PE⊂平面PEF，所以PE⊥AC.因为P是SC的中点，所以PA＝PB＝12SC.而E是AB的中点，所以PE⊥AB.因为AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.从而PE的长就是点P到平面ABC的距离．在Rt△AEP中，AP＝12SC＝52，AE＝12AB＝22，所以PE＝AP2－AE2＝54－12＝32，即点P到平面ABC的距离为32.方法二：如图所示，过A作AE∥BC，过B作BF∥AC，交AE于点D，则四边形ACBD为正方形．连接SD.因为AC⊥SA，AC⊥AD，SA∩AD＝A.所以AC⊥平面SDA.所以AC⊥SD.又由题意，可知BC⊥SB.因为BC⊥BD，SB∩BD＝B，所以BC⊥平面SDB.所以BC⊥SD.又BC∩AC＝C，于是SD⊥平面ACBD.所以SD的长为点S到平面ABC的距离．在Rt△SDA中，SD＝SA2－AD2＝22－12＝3.因为P为SC的中点，故点P到平面ABC的距离为12SD＝32.空间中直线与平面的位置关系是研究立体几何的核心问题，高考始终把直线与平面平行、垂直关系作为考查的重点，尤其是以多面体(主要是柱体和锥体)为载体的线面位置关系的论证是历年高考必考内容，预计在今后的高考中，选择题、填空题主要考查直线与平面的多重位置关系的判断，多面体模型中求空间角与距离的计算；解答题中主要考查直线与平面的平行与垂直，空间角与距离，或从探究的角度设问，研究直线与平面的位置关系，空间角和距离的计算．1．(2017年新课标Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC【答案】C【解析】由正方体的性质得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD．又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.2．(2018年新课标Ⅱ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A．22B．32C．52D．72【答案】C【解析】因为CD∥AB，所以∠EAB即为异面直线AE与CD所成角．连接BE，设正方体棱长为1，在Rt△ABE中，AB＝1，BE＝52，所以tan∠EAB＝BEAB＝52.3．(2018年江苏)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.【证明】(1)∵在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，∴AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1是平行四边形．又∵AA1＝AB，∴四边形ABB1A1是菱形，∴AB1⊥A1B.∵AB1⊥B1C1，B1C1∥BC，∴AB1⊥BC.又A1B∩BC＝B，∴AB1⊥平面A1BC.而AB1⊂平面ABB1A1，∴平面ABB1A1⊥平面A1BC.4．(2018年北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.【证明】(1)在△PAD中，PA＝PD，E是AD的中点，所以PE⊥AD.又底面ABCD为矩形，所以AD∥BC.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AD⊥CD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD.又PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA.又因为PA⊥PD，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，CD∩PD＝D，所以PA⊥平面PCD.又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)取PC的中点G，连接DG，FG.因为底面ABCD为矩形，所以ADBC.又E是AD的中点，所以DE12BC.在△PBC中，F，G分别是PB，PC的中点，所以FG12BC.所以DEFG，四边形DEFG是平行四边形，所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.