2019-2020学年高中数学 第5章 数系的扩充与复数的引入章末复习课课件 北师大版选修2-2

第五章数系的扩充与复数的引入章末复习课复数的概念【例1】复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数．思路探究：根据复数的分类列方程求解．[解](1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以x2－3x－30，①log2x－3＝0，②x－30，③由②得x＝4，经验证满足①③式．所以当x＝4时，z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以x2－3x－30，①log2x－3≠0，②x－30，③由①得x3＋212或x3－212.由②得x≠4，由③得x3.所以当x3＋212且x≠4时，z为虚数．解决复数问题的三点注意1．正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．2．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．3．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．1．(1)设i是虚数单位，若复数a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1D．3(2)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z的实部是__________．(1)D(2)1[(1)因为a－103－i＝a－103＋i3－i3＋i＝a－103＋i10＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i.由复数相等的充要条件，得－b＝－3，a＋1＝2，解得a＝1，b＝3.故复数z的实部是1．法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝－3＋2ii＝2＋3i，故z＝1＋3i，即复数z的实部是1．]复数的四则运算【例2】(1)设i是虚数单位，z－表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则zi＋i·z－＝()A．－2B．－2iC．2D．2i(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝()A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i思路探究：(1)先求出z及zi，结合复数运算法则求解．(2)利用方程思想求解并化简．(1)C(2)A[(1)∵z＝1＋i，∴z－＝1－i，zi＝1＋ii＝－i2＋ii＝1－i，∴zi＋i·z－＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2．故选C.(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋52－i＝2i＋52＋i2－i2＋i＝2i＋2＋i＝2＋3i.]复数的四则运算复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母(i2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z·z为实数．2．已知(1＋2i)z＝4＋3i，则zz的值为()A．35＋45iB．35－45iC．－35＋45iD．－35－45iA[因为(1＋2i)z＝4＋3i，所以z＝4＋3i1＋2i＝4＋3i1－2i5＝2－i，所以z＝2＋i，所以zz＝2＋i2－i＝2＋i25＝35＋45i.]复数的几何意义【例3】(1)在复平面内，复数i1＋i对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)在复平面内，复数1－2i2＋i对应的点的坐标为()A．(0，－1)B．(0,1)C．45，－35D．45，35思路探究：先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标．(1)A(2)A[(1)复数i1＋i＝i1－i1＋i1－i＝1＋i2＝12＋12i.∴复数对应点的坐标是12，12.∴复数i1＋i在复平面内对应的点位于第一象限．故选A.(2)∵1－2i2＋i＝1－2i2－i2＋i2－i＝－5i5＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A.]复数的几何意义1．复数的几何表示法：即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．3．(1)已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是()(2)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1＋i的点是()A．EB．FC．GD．H(1)A(2)D[(1)由题图知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1对应的向量应为选项A.(2)由题图可得z＝3＋i，所以z1＋i＝3＋i1＋i＝3＋i1－i1＋i1－i＝4－2i2＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．]转化与化归思想【例4】设z∈C，满足z＋1z∈R，且z－14是纯虚数，求z.思路探究：本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.[解]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋1z＝x＋yi＋1x＋yi＝x＋xx2＋y2＋y－yx2＋y2i，∵z＋1z∈R，∴y－yx2＋y2＝0，解得y＝0或x2＋y2＝1，又∵z－14＝x＋yi－14＝x－14＋yi是纯虚数．∴x－14＝0，y≠0，∴x＝14，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±154，∴复数z＝14±154i.一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．4．已知复数z1＝i(1－i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．[解](1)∵z1＝i(1－i)3＝i(1－i)(－2i)＝2－2i，∴|z1|＝22＋－22＝22.(2)∵|z|＝1，∴可设z＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，∴|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|＝cosθ－22＋sinθ＋22＝9＋4sinθ－cosθ＝9＋42sinθ－π4.∴当sinθ－π4＝1时，|z－z1|取得最大值，最大值为9＋42＝22＋1．