2019-2020学年高中数学 第4章 圆的方程 4.2.2 圆与圆的位置关系课件 新人教A版必修2

数学必修②·人教A版新课标导学第四章圆的方程4.2直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？外离1．圆与圆的位置关系：两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20)圆心距d＝a1－a22＋b1－b22，dr1＋r2⇔两圆________；d＝r1＋r2⇔两圆_______；|r1－r2|dr1＋r2⇔两圆________；d＝|r1－r2|⇔两圆________；0d|r1－r2|⇔两圆________，d＝0时为同心圆．外切相交内切内含2．两圆的公切线条数：当两圆内切时有________公切线；当两圆外切时有________公切线；相交时有________公切线；相离时有________公切线；内含时________公切线．一条三条两条四条无1．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝2的位置关系是()A．相切B．外离C．内含D．相交C[解析]圆x2＋y2＝1的圆心O1(0,0)，半径r1＝1，圆x2＋y2＝2的圆心O2(0,0)，半径r2＝2，则d＝|O1O2|＝0，|r2－r1|＝2－1，∴d|r2－r1|，∴这两圆的位置关系是内含．2．(2019·山东省泰安市校级月考)若圆x2＋y2－2x＋10y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＋2y－m＝0相交，则m的取值范围是()A．(－2,39)B．(0,81)C．(0,79)D．(－1,79)D[解析]将两圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋5)2＝25与(x－1)2＋(y＋1)2＝m＋2.由两圆相交且圆心距离为4，得|5－m＋2|＜4＜5＋m＋2，解得－1＜m＜79.3．若圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则m＝________.1或121[解析]圆x2＋y2＝m的半径r1＝m，圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0的圆心坐标为(－3,4)，半径r2＝6.∵两圆相内切，两圆心距离d＝5，∴6－m＝5，或m－6＝5，∴m＝1或m＝121.4．已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋3y＝0相切于点Q(3，－3)，求圆C的方程．[解析]圆心C(a，b)在过点Q(3，－3)与直线x＋3y＝0垂直的直线y＝3x－43上，∴b＝3a－43.圆心C到C1(1,0)和Q(3，－3)距离的差为1，可得a＝4b＝0或a＝0b＝－43.∴⊙C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.互动探究学案命题方向1⇨两圆位置关系的判断典例1判断圆x2＋y2＋6x－7＝0与圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系．[解析]解法一：圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为C1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为C2(0，－3)，半径为r2＝6，则两圆的圆心距d＝|C1C2|＝[0－－3]2＋－3－02＝32，∴|r1－r2|dr1＋r2，即两圆相交．解法二：由x2＋y2＋6x－7＝0x2＋y2＋6y－27＝0，得2x2＋383x＋379＝0，Δ＝3832－4×2×379＝14449－2969＝114890，∴两圆相交．『规律方法』判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较繁琐，另外须注意方程组有“一个”解与两圆相切不等价；二是几何法，看两圆连心线的长d，若d＝r1＋r2，两圆外切；d＝|r1－r2|时，两圆内切；dr1＋r2时，两圆外离；d|r1－r2|时，两圆内含；|r1－r2|dr1＋r2时，两圆相交．〔跟踪练习1〕(2019·山东省济宁市段考)圆A：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4与圆B：(x－1)2＋(y－3)2＝4的位置关系是()A．相交B．外离C．外切D．内含B[解析]方法一根据题意，可知圆A的半径r1＝2，圆B的半径r2＝2，圆A与圆B的圆心距d＝－2－12＋－1－32＝5＞4，即d＞r1＋r2，故两圆外离．方法二将两圆的方程联立，得方程组x＋22＋y＋12＝4，x－12＋y－32＝4，即x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，x2＋y2－2x－6y＋6＝0，消去x2，y2，得6x＋8y－5＝0.将其代入圆A(或圆B)的方程中消去y，得100x2＋100x＋169＝0，所以Δ＝1002－4×100×169＜0，所以方程无实数解，即两圆相离．因为两圆半径相等，所以不会出现内含的情况，故两圆外离．实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？命题方向2⇨由圆与圆的位置关系求参数的值或取值范围典例2[解析]将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C1：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.则圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k，k50.∴|C1C2|＝－2－12＋3－72＝5.当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切；当|50－k－1|＝5，即k＝14时，两圆内切；当14k34时，450－k6，则r2－r1|C1C2|r2＋r1，此时，两圆相交；当k14时两圆内含，当34k50时，两圆相离．『规律方法』根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况．〔跟踪练习2〕已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时：(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．[解析]对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9.圆心C1(m，－2)，半径r1＝3.C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.圆心C2(－1，m)，半径r2＝2.(1)当两圆相外切时，|C1C2|＝r1＋r2，∴m＋12＋－2－m2＝5，∴m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或2.(2)当两圆相内含时，0|C1C2||r1－r2|，∴m＋12＋－2－m21，∴m2＋3m＋20，∴－2m－1.已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．命题方向3⇨两圆的公共弦问题典例3[解析](1)将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝52；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝10.又|C1C2|＝25，r1＋r2＝52＋10，r1－r2＝52－10.∴r1－r2|C1C2|r1＋r2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.(3)解法一：两方程联立，得方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0①x2＋y2＋2x＋2y－8＝0②两式相减得x＝2y－4③，把③代入②得y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.∴x1＝－4y1＝0，或x2＝0y2＝2.∴交点坐标为(－4,0)和(0,2)．∴两圆的公共弦长为－4－02＋0－22＝25.解法二：两方程联立，得方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，两式相减得x－2y＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程；由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝52.圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离d＝|1－2×－5＋4|1＋－22＝35，∴两圆的公共弦长为2r2－d2＝250－45＝25.『规律方法』求两圆公共弦长的方法1．代数法：求交点的坐标，利用两点间的距离公式求出公共弦长．2．几何法：利用圆的半径、公共弦的一半、圆心到弦的垂线段构成的直角三角形，根据勾股定理求出公共弦长．〔跟踪练习3〕(2019·江苏省启东中学期中)圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为______________________.[思路点拨]先求出两圆的交点坐标，可以利用圆的几何性质求圆心坐标和半径，也可以利用待定系数法求圆心坐标和半径，进而求得圆的方程；还可以利用圆系方程进行求解．(x－3)2＋(y＋1)2＝16[解析]方法一由x2＋y2－4x－6＝0，x2＋y2－4y－6＝0，解得x1＝－1，y1＝－1，x2＝3，y2＝3.故圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4x－6＝0的交点为A(－1，－1)，B(3,3)，线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)．由y－1＝－x－1，x－y－4＝0，解得x＝3，y＝－1.所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为3－32＋3＋12＝4，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.方法二同方法一，求得A(－1，－1)，B(3,3)，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，由a－b－4＝0，－1－a2＋－1－b2＝r2，3－a2＋3－b2＝r2，解得a＝3，b＝－1，r2＝16.所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.方法三设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，其圆心坐标为21＋λ，2λ1＋λ，代入x－y－4＝0，得λ＝－13.故所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝16.等价转化思想在解决与圆有关问题中的应用(1)直线与圆相交、相切、相离等价于dr，d＝r，dr.(2)直线与圆相交弦长有关问题常利用d2＋(|AB|2)2＝r2及|AB|＝1＋k2|x1－x2|讨论．(3)圆过两点A，B，则圆心在线段AB的中垂线上．(4)直线平分圆(圆周)等价于直线过圆心，等价于直线是圆的对称轴．(5)圆心角最小等价于弦长最短，等价于圆心与弦中点的连线与弦垂直．(6)切线长最短等价于点到圆心的距离最小．(7)圆面积最大等价于圆的周长最大，等价于圆的半径最大．(8)直线与圆有公共点等价于d≤r，等价于Δ≥0.(9)直线l与⊙C切于点P，等价于CP⊥l且CP＝r.(10)过直线l：Ax＋By＋C＝0与⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆的方程可设为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.典例4求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋3y＝0切于点(3，－3)的圆的方程．[思路分析]两圆外切，d＝r1＋r2.圆与直线相切于P，则|PC|＝r，PC与直线垂直．[解析]设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，将x2＋y2－2x＝0化为标准形式(x－1)2＋y2＝1，由题意可得a－12＋b2＝r＋1，|a＋3b|2＝r，b＋3a－3·－13＝－1.解得a＝4，b＝0，r＝2.或a＝0，b＝－43，r＝6.故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.〔跟踪练习4〕(2019·湖北省荆州市高二期中)在△ABO中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，P是△ABO的内切圆上的一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值．[思路点拨]求三个圆的面积之和的最值实质上是求|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最值．[解析]以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则