2019-2020学年高中数学 第3章 圆锥曲线与方程章末复习课课件 北师大版选修2-1

1、第三章圆锥曲线与方程章末复习课椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的__等于常数(大于_____)的点的轨迹平面内与两个定点F1，F2的距离的___________等于常数(小于______)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离______的点的轨迹|F1F2|和差的绝对值|F1F2|相等标准方程(以焦点在x轴为例)x2a2＋y2b2＝1(ab0)x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2＝2px(p0)关系式________＝c2_______＝c2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，无渐近线对称中心为______无对称中心对称性条对称轴一条对称轴a2－b2a2＋b2原点两顶点___个___个一个离心率______________e＝1准线方程x＝－p2决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小统一定义圆锥曲线上的点到__________的距离与它到______________的距离之比为定值___四两0e1e1一个定点一条定直线e2.椭圆的焦点三角形设P为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上任意一点(不在x轴上)，F1。

2、，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图)．(1)焦点三角形的面积S＝；(2)焦点三角形的周长L＝．b2tanα22a＋2c3．待定系数法求圆锥曲线标准方程(1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．①可将椭圆方程设为，其中当1A1B时，焦点在x轴上，当1A1B时，焦点在y轴上．②双曲线方程可设为，当1A0时，焦点在y轴上，当1B0时，焦点在x轴上．Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)Ax2＋By2＝1(AB0)(2)抛物线的标准方程对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为______________________．y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)4．双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．(2)如果双曲线的渐近线为xa±yb＝0时，它的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．5．抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论．(1)。

3、y2＝2px(p0)中，|AB|＝；(2)y2＝－2px(p0)中，|AB|＝－x1－x2＋p；(3)x2＝2py(p0)中，|AB|＝；(4)x2＝－2py(p0)中，|AB|＝－y1－y2＋p.y1＋y2＋px1＋x2＋p6．直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：①Δ0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；③Δ0⇔直线与圆锥曲线无交点．提醒：直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．(2)直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝（1＋k2）（x1－x2）2或1＋1k2（y1－y2）2，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．圆锥。

4、曲线的定义及应用【例1】(1)F1，F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为点Q，则点Q的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线(2)设F1，F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求|PF1||PF2|的值．[思路探究](1)借助角平分线的性质及相关曲线的定义求解；(2)要求|PF1||PF2|的值，可考虑利用椭圆的定义和△PF1F2为直角三角形的条件，求出|PF1|和|PF2|的值，但Rt△PF1F2的直角顶点不确定，故需要分类讨论．(1)A[延长垂线F2Q交F1P的延长线于点A，如图．则△APF2是等腰三角形，∴|PF2|＝|AP|，从而|AF1|＝|AP|＋|PF1|＝|PF2|＋|PF1|＝2a.∵O是F1F2的中点，Q是AF2的中点，∴|OQ|＝12|AF1|＝a.∴Q点的轨迹是以原点O为圆心，半径为a的圆．](2)解：由题意知，a＝3，b＝2，则c2＝a2－b2＝5，即c＝5，由椭圆定义知|PF1|。

5、＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25.①若∠PF2F1为直角，则|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2，|PF1|2－|PF2|2＝20，即|PF1|－|PF2|＝103，|PF1|＋|PF2|＝6，解得|PF1|＝143，|PF2|＝43.所以|PF1||PF2|＝72.②若∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.即20＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2或|PF1|＝2，|PF2|＝4(舍去．)所以|PF1||PF2|＝2.运用定义解题主要体现在以下几个方面：(1)在求动点的轨迹方程时，如果动点所满足的几何条件符合某种圆锥曲线的定义，则可直接根据圆锥曲线的方程写出所求的动点的轨迹方程；(2)涉及椭圆或双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常常运用圆锥曲线的定义并结合三角形中的正、余弦定理来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义，把抛物线上某一点到焦点的距离转化为到准线的距离，并结合图形的几何意义去解决．1．(1)已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过点M。

6、，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()A．x2－y28＝1(x＞1)B．x2－y28＝1(x＜－1)C．x2＋y28＝1(x＞0)D．x2－y210＝1(x＞1)(2)点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2，3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标．(1)A[设PM，PN与⊙C分别切于点E，F，如图，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|.从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝2＜|MN|，∴P点的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去右顶点)．∴所求轨迹方程为x2－y28＝1(x＞1)．](2)解：抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作PD垂直于准线x＝－2，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4，所以|PM|＋|PF|的最小值是4.此时点P的纵坐标为3，所以其横。

7、坐标为98，即点P的坐标是98，3.圆锥曲线简单性质的应用【例2】(1)已知椭圆x23m2＋y25n2＝1和双曲线x22m2－y23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()A．x＝±152yB．y＝±152xC．x＝±34yD．y＝±34x(2)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－c，0)，A(－a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为b7，求椭圆的离心率e.[思路探究](1)由椭圆和双曲线有公共的焦点可得m，n的等量关系，从而求出双曲线的渐近线方程；(2)写出AB的直线方程，由F1到直线AB的距离为b7得出a，c的关系，求椭圆的离心率e.(1)D[由题意，3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，令x22m2－y23n2＝0，y2＝3n22m2x2＝316x2，∴y＝±34x，即双曲线的渐近线方程是y＝±34x.](2)由A(－a，0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB＝ba，故AB所在的直线方程为y－b＝bax，即bx－ay＋ab＝0.又F1(－c，0)，由点到直线的距离公式可得d＝|－bc＋ab|。

8、a2＋b2＝b7，∴7·(a－c)＝a2＋b2.又b2＝a2－c2，整理，得8c2－14ac＋5a2＝0，即8×ca2－14×ca＋5＝0，∴8e2－14e＋5＝0.∴e＝12或e＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e＝12.1.(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求该椭圆的离心率．[解]题意可知，该椭圆的焦点在x轴上，故椭圆的离心率e＝1－5n23m2＝1－5n224n2＝11412.2.(变条件)在本例(2)条件换为“已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1→·MF2→＝0的点M总在椭圆内部，”求椭圆离心率的取值范围．[解]∵MF1→·MF2→＝0，∴点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，其方程为x2＋y2＝c2.由题意知椭圆上的点在该圆的外部，设椭圆上任意一点P(x，y)，到|OP|min＝b，∴c＜b，即c2＜a2－c2.解得e＝ca＜22.∵0＜e＜1，∴0＜e＜22.1．本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点；(2)已知圆锥曲线的性质求其方程．2．对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法：。

9、(1)代入法就是代入公式e＝ca求离心率；(2)列方程法就是根据已知条件列出关于a，b，c的关系式，然后把这个关系式整体转化为关于e的方程，解方程即可求出e的值．直线与圆锥曲线的位置关系【例3】(1)在抛物线y2＝16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在的直线的方程是________．(2)已知向量a＝(x，3y)，b＝(1，0)，且(a＋3b)⊥(a－3b)．①求点Q(x，y)的轨迹C的方程；②设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围．8x－y－15＝0[(1)设所求直线与y2＝16x相交于点A、B，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得y21＝16x1，y22＝16x2，两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝16(x1－x2)，即y1－y2x1－x2＝16y1＋y2，得kAB＝8.设直线方程为y＝8x＋b，代入点(2，1)得b＝－15；故所求直线方程为y＝8x－15.](2)①由题意得，a＋3b＝(x＋3，3y)，a－3b＝(x－3，3y)，∵(a＋3b)⊥(a－3b)，∴(a＋3b。

10、)·(a－3b)＝0，即(x＋3)(x－3)＋3y·3y＝0，化简得x23＋y2＝1，∴点Q的轨迹C的方程为x23＋y2＝1.②由y＝kx＋m，x23＋y2＝1.得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴Δ0，即m23k2＋1.①(ⅰ)当k≠0时，设弦MN的中点为P(xP，yP)，xM、xN分别为点M、N的横坐标，则xP＝xM＋xN2＝－3mk3k2＋1，从而yP＝kxP＋m＝m3k2＋1，kAP＝yP＋1xP＝－m＋3k2＋13mk，又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN.则－m＋3k2＋13mk＝－1k，即2m＝3k2＋1，②将②代入①得2mm2，解得0m2，由②得k2＝2m－130，解得m12，故m的取值范围是12，2.(ⅱ)当k＝0时，|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，m23k2＋1.即为m21，解得－1m1.综上，当k≠0时，m的取值范围是12，2，当k＝0时，m的取值范围是(－1，1)．解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问。