2019-2020学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数 3.2.2 复数的乘法 3.2.3 复数的

第三章数系的扩充与复数3.2复数的运算3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法学习目标核心素养1．理解复数的乘除运算法则.2．会进行复数的乘除运算．(重点)3．掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能应用周期性进行化简与计算．(难点)4．掌握共轭复数的运算性质．(易混点)通过复数的乘法、除法运算法则及运算性质的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.自主预习探新知一、复数的乘法及其运算律1．定义(a＋bi)(c＋di)＝.(ac－bd)＋(ad＋bc)i一、复数的乘法及其运算律2．运算律对任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝________结合律(z1·z2)·z3＝_________乘法对加法的分配律z1·(z2＋z3)＝_________3．两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)．4．i4n＋1＝；i4n＋2＝；i4n＋3＝；i4n＝．z2·z1z1·(z2·z3)z1·z2＋z1·z3模的平方i－1－i1二、复数的除法法则1．已知z＝a＋bi，如果存在一个复数z′，使z·z′＝，则z′叫做z的，记作，则1z＝且1z＝.2．复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，z1z2＝.倒数11zaa2＋b2－ba2＋b2iz|z|2a＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i1．复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i[解析]21－i＝21＋i2＝1＋i，∴21－i的共轭复数为1－i，故选B.[答案]B2．已知复数z1＝12－32i(1＋i)(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.[解析]z1＝12－32i(1＋i)＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，因为z1·z2∈R，所以a＝4.所以z2＝4＋2i.[答案]4＋2i3．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．[解析]∵i·z＝1＋2i，∴z＝1＋2ii＝2－i，故z的实部为2.[答案]2合作探究提素养复数代数形式的乘法运算【例1】(1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝()A．5－4iB．5＋4iC．3－4iD．3＋4i(2)复数z＝(3－2i)i的共轭复数z等于()A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3i(3)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________.[解析](1)由题意知a－i＝2－bi，∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.(2)∵z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i.∴z＝2－3i.故选C.(3)(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.[答案](1)D(2)C(3)5－5i1．两个复数代数形式乘法的一般方法首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；(3)(1±i)2＝±2i.1．若|z1|＝5，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝________.[解析]设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则|z1|＝a2＋b2＝5，即a2＋b2＝25，z1·z2＝(a＋bi)·(3＋4i)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i.∵z1·z2是纯虚数．∴3a－4b＝0，3b＋4a≠0，a2＋b2＝25，解得a＝4，b＝3或a＝－4，b＝－3.∴z1＝4＋3i或z1＝－4－3i.[答案]4＋3i或－4－3i复数代数形式的除法运算【例2】1＋i31－i2＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i(2)i是虚数单位，复数7＋i3＋4i＝()A．1－iB．－1＋iC.1725＋3125iD．－177＋257i[解析](1)法一：1＋i31－i2＝1＋i1＋i2－2i＝1＋i1＋i2＋2i－2i＝－2＋2i－2i＝1－ii＝－1－i.故选D.法二：1＋i31－i2＝1＋i1－i2(1＋i)＝i2(1＋i)＝－(1＋i)．(2)7＋i3＋4i＝7＋i3－4i3＋4i3－4i＝25－25i25＝1－i，故选A.[答案](1)D(2)A1．两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．2．常用公式(1)1i＝－i；(2)1＋i1－i＝i；(3)1－i1＋i＝－i.2．(1)满足z＋iz＝i(i为虚数单位)的复数z＝()A.12＋12iB.12－12iC．－12＋12iD．－12－12i(2)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝()A．1B．2C.2D.3[解析](1)∵z＋iz＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z(i－1)．∴z＝ii－1＝i－1－i－1＋i－1－i＝1－i2＝12－12i.(2)∵z(1＋i)＝2i，∴z＝2i1＋i＝2i1－i2＝1＋i，∴|z|＝12＋12＝2.[答案](1)B(2)Cin的周期性及应用[探究问题]1．i5与i是否相等？提示：i5＝i4·i＝i，相等．2．i＋i2＋i3＋i4的值为多少？提示：i＋i2＋i3＋i4＝0.【例3】计算i1＋i2＋i3＋…＋i2020.[思路探究]本题中需求多个in和的值，求解时可考虑利用等比数列求和公式及in的周期性化简；也可利用in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)化简．[解]法一：原式＝i1－i20201－i＝i[1－i21010]1－i＝i1－11－i＝0.法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)，∴i1＋i2＋i3＋…＋i2020＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2017＋i2018＋i2019＋i2020)＝0.虚数单位i的周期性(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)．(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．3．计算：1＋i1－i·1＋i1－i2·1＋i1－i3·…·1＋i1－i10.[解]∵1＋i1－i＝i，∴原式＝i·i2·i3·…·i10＝i1＋2＋3＋…＋10＝i55＝i3＝－i.当堂达标固双基1．已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝()A．－3＋iB．－1＋3iC．－3＋3iD．－1＋i[解析]按照复数乘法运算法则，直接运算即可．(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.[答案]B2．在复平面内，复数z＝2i1＋i(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝1＋i的共轭复数为1－i，对应的点为(1，－1)，在第四象限．[答案]D3．若21－i＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.[解析]因为21－i＝21＋i1－i1＋i＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.[答案]24．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1z2为纯虚数，则实数a的值为________．[解析]设z1z2＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi，所以a＝4b，2＝3b，所以a＝83.[答案]835．计算：(1)(1－i)－12＋32i(1＋i)；(2)2＋3i3－2i；(3)(2－i)2.[解](1)法一：(1－i)－12＋32i(1＋i)＝－12＋32i＋12i－32i2(1＋i)＝3－12＋3＋12i(1＋i)＝3－12＋3＋12i＋3－12i＋3＋12i2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)－12＋32i＝(1－i2)－12＋32i＝2－12＋32i＝－1＋3i.(2)2＋3i3－2i＝2＋3i3＋2i3－2i3＋2i＝2＋3i3＋2i32＋22＝6＋2i＋3i－65＝5i5＝i.(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)＝4－4i＋i2＝3－4i.