2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变形 2 两角和与差的三角函数 2.1 两角差的余弦

第三章三角恒等变形§2两角和与差的三角函数2.1两角差的余弦函数2.2两角和与差的正弦、余弦函数自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单恒等变换.两角和与差的正弦、余弦公式公式简记cos(α－β)＝__________________C(α－β)cos(α＋β)＝__________________C(α＋β)sin(α－β)＝__________________S(α－β)sin(α＋β)＝__________________S(α＋β)cosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ－cosαsinβsinαcosβ＋cosαsinβ练一练(1)cos15°·cos105°＋sin15°·sin105°＝________；(2)cos175°·cos55°＋cos85°·cos35°＝________.解析：(1)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝0.(2)原式＝cos(180°－5°)·cos55°＋cos(90°－5°)·cos(90°－55°)＝－cos5°·cos55°＋sin5°·sin55°＝－cos(5°＋55°)＝－cos60°＝－12.答案：(1)0(2)－121．应用公式Cα±β，Sα±β应注意什么？答：(1)Cα±β，Sα±β中，α，β都是任意角．(2)Cα±β中注意展开式中为余余正正，中间运算符号与α±β中符号相反，而Sα±β中展开式为正余余正，中间运算符号与α±β中符号相同．(3)注意公式逆用、变形用．2．两角和余弦公式及两角和与差正弦公式与两角差余弦公式有何关系？答：它们实质上是利用诱导公式及两角差余弦公式推导出来的．虽然结构不同，但本质一样．即：cos(α－β)――→以－β换βcos(α＋β)――→以π2－α换αsin(α－β)――→以－β换βsin(α＋β)．典例精析规律总结课堂互动探究1化简求值类型求下列式子的值：(1)cos(－15°)；(2)sin795°；(3)cos43°cos77°＋sin43°cos167°.【解】(1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)sin795°＝sin(2×360°＋75°)＝sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(3)∵cos167°＝cos(90°＋77°)＝－sin77°，∴原式＝cos43°cos77°－sin43°sin77°＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝－12.【方法总结】1.解答此类题目的方法就是活用、逆用Cα±β，Sα±β公式，在解答过程中常会利用诱导公式实现角的前后统一．2．对于形如y＝asinx＋bcosx的函数，要研究其性质，常利用两角和与差的正、余弦公式转化成y＝f(x)＝a2＋b2·sin(x＋θ)，其中tanθ＝ba.求下列各式的值．(1)cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)；(2)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(3)sinπ12－3cosπ12.解：(1)原式＝cos[(x＋27°)－(x－18°)]＝cos45°＝22.(2)原式＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝12.(3)解法一：原式＝212sinπ12－32cosπ12＝2sinπ6sinπ12－cosπ6cosπ12＝－2cosπ6＋π12＝－2cosπ4＝－2.解法二：原式＝212sinπ12－32cosπ12＝2cosπ3sinπ12－sinπ3cosπ12＝2sinπ12－π3＝－2sinπ4＝－2.2给值求值类型已知0＜β＜π4，π4＜α＜3π4，cosπ4－α＝35，sin3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．【解】∵π4＜α＜3π4，∴－π2＜π4－α＜0.∴sinπ4－α＝－1－352＝－45.又∵0＜β＜π4，∴3π4＜3π4＋β＜π，∴cos3π4＋β＝－1－5132＝－1213，sin(α＋β)＝－cosπ2＋α＋β＝－cos3π4＋β－π4－α＝－cos3π4＋βcosπ4－α－sin3π4＋βsinπ4－α＝－－1213×35－513×－45＝5665.【方法总结】解题时要首先认真观察和分析题目的已知条件和结论中各种角度之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.解析：由sinα＋cosβ＝1，两边平方得sin2α＋2sinαcosβ＋cos2β＝1，①由cosα＋sinβ＝0，两边平方得cos2α＋2cosαsinβ＋sin2β＝0，②①＋②可得2＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，所以sin(α＋β)＝－12.答案：－123给值求角类型已知0＜α＜π2，－π2＜β＜0，且α，β满足sinα＝55，cosβ＝31010，求α－β.【解】因为0＜α＜π2，－π2＜β＜0，且sinα＝55，cosβ＝31010，故cosα＝1－sin2α＝1－15＝255，sinβ＝－1－cos2β＝－1－910＝－1010，故cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×31010＋55×－1010＝22.由0＜α＜π2，－π2＜β＜0得，0＜α－β＜π，又∵cos(α－β)＞0，所以α－β为锐角，所以α－β＝π4.【方法总结】对于三角函数中求角的问题，一般的解决方法步骤是：(1)求这个角的某一个三角函数值；(2)确定该角的范围．解这类题目常犯的错误是对角的范围不加讨论．范围讨论的程度过大或过小，都会致使求出的角不符合题意．已知α∈0，π2，β∈－π2，0，且cos(α－β)＝35，sinβ＝－210，求α.解：∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π)．∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵β∈－π2，0，sinβ＝－210，∴cosβ＝7210.∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝45×7210＋35×－210＝22.又∵α∈0，π2，∴α＝π4.若sinA＝55，sinB＝1010，且A，B均为钝角，求A＋B的值．【错解】∵90°A180°，90°B180°，sinA＝55，sinB＝1010，∴cosA＝－255，cosB＝－31010，∴sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝－22.又∵180°A＋B360°，∴A＋B＝225°或A＋B＝315°.【错因分析】已知条件中给出的角的取值范围较大，应结合其他已知条件，把角的取值范围缩小至较精确的范围．错解直接应用了原取值范围，导致出现两种结果．【正解】∵sinA＝5512，sinB＝101012，∴150°A180°，150°B180°，∴300°A＋B360°.∵sin(A＋B)＝－22，∴A＋B＝315°.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一两角和与差的正弦1．sin58°cos13°＋cos122°cos77°＝()A.12B．22C.32D．1解析：原式＝sin58°cos13°＋cos(180°－58°)cos(90°－13°)＝sin58°cos13°－cos58°sin13°＝sin(58°－13°)＝sin45°＝22.答案：B2．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为()A.2B．22C.12D．32解析：原式＝sin(65°－x)cos(20°－x)－cos(65°－x)sin(20°－x)＝sin[(65°－x)－(20°－x)]＝sin45°＝22.答案：B知识点二两角和与差的余弦3．设α∈0，π2，若sinα＝35，则2cosα＋π4＝()A．75B．15C．－75D．－15解析：∵α∈0，π2且sinα＝35，∴cosα＝45，∴2cosα＋π4＝2cosαcosπ4－sinαsinπ4＝cosα－sinα＝15.答案：B4．sin163°sin223°＋sin253°sin313°＝________.解析：原式＝sin17°(－sin43°)＋(－sin73°)(－sin47°)＝cos17°cos43°－sin17°sin43°＝cos60°＝12.答案：125．在△ABC中，已知cosA＝6－24，sinB＝22，求C.解：∵在△ABC中，cosA＝6－24，∴sinA＝1－6－242＝6＋24.又sinB＝22，∴B＝π4或34π.①当B＝π4时，cosB＝22.cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－6－24×22＋6＋24×22＝12，∴C＝π3.②当B＝34π时，A＋B＞π，∴B＝34π舍去．综上，C＝π3.