2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换章末复习课课件 苏教版必修4

第3章三角恒等变换章末复习课已知tanα＝43，cos(α＋β)＝－1114，α，β均为锐角，求cosβ的值．思路点拨：由tanα求sinα，由cos(α＋β)求sin(α＋β)，再利用cosβ＝cos[(α＋β)－α]展开求解．求值问题[解]因为α，β均为锐角，所以0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－1114，所以π2＜α＋β＜π，且sin(α＋β)＝5314.因为tanα＝43，所以sinα＝437，cosα＝17.所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝12.三角函数求值主要有三种类型，即1“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.2“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角，要注意角的范围.3“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.1．已知sinπ4＋αsinπ4－α＝16，α∈π2，π，求sin4α1＋cos2α的值．[解]∵sinπ4＋αsinπ4－α＝16，∴sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，sinπ2＋2α＝13，即cos2α＝13.又α∈π2，π，2α∈(π，2π)，∴sin2α＝－1－cos22α＝－1－132＝－223.∴sin4α1＋cos2α＝2sin2αcos2α1＋1＋cos2α2＝2×－223×131＋1＋132＝－4215.求证：1＋sin4θ－cos4θ2tanθ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan2θ.思路点拨：先对原式进行等价变形，同时注意应用“二倍角”的正弦、余弦、正切公式．化简与证明[证明]证明原不等式成立，即证明1＋sin4θ－cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)成立．∵tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)＝sin2θcos2θ(2cos22θ＋2sin2θcos2θ)＝2sin2θ(cos2θ＋sin2θ)＝2sin2θcos2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos4θ.∴1＋sin4θ－cos4θ2tanθ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan2θ.三角函数式的化简与证明要遵循“三看”原则1一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式.2二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”.3三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.2．化简：2sin130°＋sin100°1＋3tan370°1＋cos10°.[解]原式＝2sin50°＋sin80°1＋3tan10°1＋cos10°＝2sin50°＋cos10°×cos10°＋3sin10°cos10°2cos25°＝2sin50°＋212cos10°＋32sin10°2|cos5°|＝2sin50°＋2sin30°＋10°2cos5°＝2sin45°＋5°＋sin45°－5°2cos5°＝2sin45°cos5°＋cos45°sin5°＋sin45°cos5°－cos45°sin5°2cos5°＝4sin45°·cos5°2cos5°＝2.设向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．思路点拨：分别表示两向量的模，利用相等求解x的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一个角的一种函数求解．三角恒等变换的综合应用[解](1)由|a|2＝(3sinx)2＋sin2x＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈0，π2，从而sinx＝12，所以x＝π6.(2)f(x)＝a·b＝3sinxcosx＋sin2x＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin2x－π6＋12，当x＝π3∈0，π2时，sin2x－π6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.1．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．3．已知函数f(x)＝cos2x2－sinx2cosx2－12.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f(α)＝3210，求sin2α的值．[解](1)f(x)＝cos2x2－sinx2cosx2－12＝12(1＋cosx)－12sinx－12＝22cosx＋π4.所以f(x)的最小正周期为2π，值域为－22，22.(2)由(1)知f(α)＝22cosα＋π4＝3210，所以cosα＋π4＝35.所以sin2α＝－cosπ2＋2α＝－cos2α＋π4＝1－2cos2α＋π4＝1－1825＝725.【例4】已知tanα＝13，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．思路点拨：先求tan(2α－β)的值，再结合2α－β的范围求2α－β的值．转化与化归思想在三角变换中的应用[解]∵tanα＝13＞0，∴α∈0，π2，2α∈(0，π)，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝34＞0，∴2α∈0，π2，又∵tanβ＝－17＜0，β∈(0，π)，∴β∈π2，π，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34－－171＋34×－17＝1，又∵2α∈0，π2，β∈π2，π，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－34π.在三角函数的化简、求值中，常常对条件和结论进行合理的变换，通过转化沟通已知与未知的关系，角的转化、函数名称的转化、常数代换、幂的升降变换、结构变化等技巧在解题中经常用到，应熟练掌握.4．已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cosπ4－α＝35，sin3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．[解]∵π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，∴－π2＜π4－α＜0，3π4＜3π4＋β＜π，∴sinπ4－α＝－1－cos2π4－α＝－1－352＝－45，cos3π4＋β＝－1－sin23π4＋β＝－1213，∴sin(α＋β)＝－cosπ2＋α＋β＝－cos3π4＋β－π4－α＝－cos3π4＋βcosπ4－α＋sin3π4＋β·sinπ4－α＝－－1213×35＋513×－45＝5665.