2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示

第三章空间向量与立体几何3．2空间向量在立体几何中的应用3.2.2平面的法向量与平面的向量表示学习目标核心素养1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(重点)2.会用平面的法向量证明平行与垂直．(重点)3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．(难点)1.通过本节知识的学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助向量法证明有关平行与垂直问题，提升学生逻辑推理、数学运算素养.自主预习探新知1．平面的法向量及其应用(1)平面的法向量：如果向量n的基线与平面α，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．(2)平面的向量表示式：设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，用表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面，这个式子通常称为一个平面的向量表示式．垂直AM→·n＝0(3)两个平面平行或垂直的判断：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α与β重合⇔；α⊥β⇔⇔n1∥n2n1·n2＝0.n1⊥n2思考：平面的法向量有何作用？是否唯一？[提示]平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系．平面的法向量不唯一，它们都是共线的．2．三垂线定理及其逆定理：(1)射影：①已知平面α和一点A，过点A作α的l与平面α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的，简称射影．②图形F上在平面α内的所成的集合F′，叫做图形F在平面α内的射影．(2)三垂线定理：如果在平面内的与平面的一条斜线在这个平面内的，则它也和这条斜线垂直．(3)三垂线定理的逆定理：如果平面内的和这个平面的，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直．所有的点斜线垂直一条一条直线射影垂直一条直线射影垂线正射影1．直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为()A．－2B．－2C.2D．±2D[线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得x＝±2.]2．设平面α的法向量的坐标为(1,2，－2)，平面β的法向量的坐标为(－2，－4，k)．若α∥β，则k等于()A．2B．－4C．4D．－2C[因为α∥β，所以1－2＝2－4＝－2k，所以k＝4.]3．已知平面内的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则该平面的一个法向量为()A．(1，－1,1)B．(2，－1,1)C．(－2,1,1)D．(－1,1，－1)C[显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，则有a·n＝0，b·n＝0，∴2x＋3y＋z＝0，5x＋6y＋4z＝0.令z＝1，得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2,1,1)．]合作探究提素养求平面的法向量【例1】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．[解]因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB→的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，3，0)，E0，32，12，B(1,0,0)，C(1，3，0)，于是AE→＝0，32，12，AC→＝(1，3，0)．设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则n·AC→＝0，n·AE→＝0，即x＋3y＝0，32y＋12z＝0，所以x＝－3y，z＝－3y，令y＝－1，则x＝z＝3.所以平面ACE的一个法向量为n＝(3，－1，3)．利用待定系数法求法向量的解题步骤1．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量．[解]因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF⊂平面PAB.所以PF⊥平面ABCD，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB.以F为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图所示)．由题意得F(0,0,0)，P0，0，32，D－1，32，0，C0，32，0，E0，34，34.所以FE→＝0，34，34，FD→＝－1，32，0.设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)．则m·FE→＝0，m·FD→＝0，即34y＋34z＝0，－x＋32y＝0.所以z＝－y，x＝32y，令y＝2，则x＝3，z＝－2.所以平面DEF的一个法向量为m＝(3，2，－2).利用法向量证明空间中的位置关系[探究问题]1．平面的法向量有何特点？[提示]设向量n是平面α的一个法向量．则：(1)n是一个非零向量．(2)向量n与平面α垂直．(3)平面α的法向量有无数多个，它们都与向量n平行，方向相同或相反．(4)给定空间中任意一点A和非零向量n，可确定唯一一个过点A且垂直于向量n的平面．2．用向量法证明空间线面垂直关系的关键是什么？[提示]设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则位置关系向量关系向量运算关系坐标关系l⊥ma⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0l⊥αa∥ua＝λu，λ∈Ra1＝λu1，a2＝λu2，a3＝λu3α⊥βu⊥vu·v＝0u1v1＋u2v2＋u3v3＝0【例2】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．(1)证明：C1M∥平面ADE；(2)平面ADE⊥平面A1D1F.[思路探究]建立空间坐标系，求出平面ADE与平面A1D1F的法向量求解．[解](1)以D为原点，向量DA→，DC→，DD1→的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1.则D(0,0,0)，A(1,0,0)，E1，1，12，C1(0,1,1)，M1，0，12，DA→＝(1,0,0)，DE→＝1，1，12，C1M→＝1，－1，－12.设平面ADE的法向量为m＝(a，b，c)，则m·DA→＝0m·DE→＝0⇒a＝0，a＋b＋12c＝0.令c＝2，得m＝(0，－1,2)，∵m·C1M→＝(0，－1,2)·1，－1，－12＝0＋1－1＝0，∴C1M→⊥m.又C1M⊄平面ADE，∴C1M∥平面ADE.(2)由D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，F0，12，0，得D1A1→＝(1,0,0)，D1F→＝0，12，－1，设平面A1D1F的法向量为n＝(x，y，z)，则n·D1A1→＝0，n·D1F→＝0⇒x＝0，12y－z＝0.令y＝2，则n＝(0,2,1)．∵m·n＝(0，－1,2)·(0,2,1)＝0－2＋2＝0，∴m⊥n.∴平面ADE⊥平面A1D1F.1．(变结论)本例条件不变，试求直线D1E的一个方向向量和平面EFM的一个法向量．[解]如本例解析题，D1(0,0,1)，E1，1，12，M1，0，12，所以D1E→＝1，1，－12，即直线D1E的一个方向向量．设平面EFM的法向量为n＝(x，y，z)，因为F0，12，0，所以EF→＝－1，－12，－12，EM→＝(0，－1,0)，由n·EF→＝0，n·EM→＝0，即－x－12y－12z＝0，－y＝0.所以z＝－2x，y＝0，令x＝1，则z＝－2.所以平面EFM的一个法向量为(1,0，－2)．2．(变条件，变结论)在本例中设D1B1的中点为N，其他条件不变．试证：EN⊥平面B1AC.[证明]如本例解析图，E1，1，12，N12，12，1，A(1，0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)．∴EN→＝－12，－12，12，AB1→＝(0,1,1)，AC→＝(－1,1,0)，∴EN→·AB1→＝0，EN→·AC→＝0，∴EN→⊥AB1→，EN→⊥AC→，即EN⊥AB1，EN⊥AC.又AB1∩AC＝A，∴EN⊥平面B1AC.利用向量法证明空间中的位置关系，关键是建立坐标系，用坐标向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算.提醒：解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示.三垂线定理及逆定理的应用【例3】如图所示，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，若O，Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求证：OQ⊥平面PBC.[证明]如图，连接AO并延长交BC于点E，连接PE.∵PA⊥平面ABC，AE⊥BC(由于O是△ABC的垂心)，∴PE⊥BC(三垂线定理的逆定理)，∴点Q在PE上．∵AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E⇒BC⊥平面PAE⇒BC⊥OQ.①连接BO并延长交AC于点F，则BF⊥AC.连接BQ并延长交PC于点M，则BM⊥PC.连接MF.∵PA⊥平面ABC，BF⊥AC，∴BF⊥PC(三垂线定理)．∵BM⊥PC，BF⊥PC，BM∩BF＝B⇒PC⊥平面BMF⇒PC⊥OQ.②由①②，知OQ⊥平面PBC.利用传统的几何法进行证明，在证明线面垂直时，首先应证明线线垂直，本题在证明线线垂直时，应用到了三垂线定理及其逆定理.2．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝6，M是CC1中点，求证：AB1⊥A1M.[证明]连接AC1，∵ACMC1＝362＝2，CC1C1A1＝63＝2，∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，∠AC1C＝∠MA1C1，∴∠A1MC1＋∠AC1C＝∠A1MC1＋∠MA1C1＝90°，∴A1M⊥AC1.∵ABC­A1B1C1为直三棱柱，∴B1C1⊥CC1.又∵B1C1⊥A1C1，A1C1∩CC1＝C1，∴B1C1⊥平面AC1，由三垂线定理知，AB1⊥A1M.当堂达标固双基1．思考辨析(1)已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行，则a是平面α的一个法向量．()(2)若直线l是平面α外的一条直线；直线m垂直于l在平面α内的投影，则l与m垂直．()(3)一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．()[提示](1)×不一定．当a＝0时，也满足a∥l，尽管l垂直于平面α，a也不是平面α的法向量．(2)×不一定．若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于直线l在平面α内的投影，也不能得出m⊥l的结论．(3)√2．若直线l∥平面α，直线l的方向向量为s、平面α的法向量为n，则下列结论正确的是()A．s＝(－1,0,2)，n＝(1,0，－1)B．s＝(－1,0,1)，n＝(1,2，－1)C．s＝(－1,1,1)，n＝(1,2，－1)D．s＝(－1,1,1)，n＝(－2,2,2)C[直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量垂直，经检验只有选项C中s·n＝0，故选C.]3．设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝()A．3B．4C．5D．6C[∵α⊥β，则u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.]4．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．平行[AB→＝(0,1，－1)，AC→＝(1,0，－1)，所以n·AB→＝0，n·AC→＝0，所以n⊥AB→，n⊥AC→，故n也是α的一个法向量．又因为α与β不重合，所