2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量

第3章空间向量与立体几何3.2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量学习目标核心素养1.理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点)2.会用待定系数法求平面的法向量．(难点)3.平面法向量的设法．(易错点)通过求直线的方向向量和平面的法向量，培养数学运算素养.自主预习探新知1．直线的方向向量我们把直线l上的向量e(e≠0)以及_________的非零向量叫做直线l的__________．2．平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称__________________，记作_____.此时，我们把向量n叫做__________________．与e共线方向向量平面α的法向量向量n垂直于平面αn⊥α思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？[提示]不唯一，直线的方向向量(平面的法向量)有无数个，它们分别是共线向量．A[AB→＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．]1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(1,2,3)B．(1,3,2)C．(2,1,3)D．(3,2,1)[解析]AB→＝(－1,0,1)，由题意知，a∥AB→，则存在实数λ，使a＝λAB→，即(2,0，x)＝λ(－1,0,1)，即2＝－λ，x＝λ，∴λ＝－2，x＝－2.2．已知直线l过A(3,2,1)，B(2,2,2)，且a＝(2,0，x)是直线l的一个方向向量，则x＝________.[答案]－2C[因为AB→＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB∥平面yOz.]3．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面()A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交13，－23，23[设平面的法向量为a＝(x，y，z)，则有AB→·a＝0，AC→·a＝0，∴2x＋2y＋z＝0，4x＋5y＋3z＝0.令z＝1，得y＝－1，x＝12，∴a＝12，－1，1故平面ABC的一个单位法向量为a＝13，－23，23.]4．已知AB→＝(2,2,1)，AC→＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量可表示为________．合作探究提素养直线的方向向量及其应用【例1】(1)已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.(2)在空间直角坐标系中，已知点A(2,0,1)，B(2,6,3)，P是直线AB上一点，且满足AP∶PB＝3∶2，则直线AB的一个方向向量为________，点P的坐标为________．[思路探究](1)利用两直线的方向向量共线求解；(2)AB→即是直线AB的一个方向向量，利用AP→＝35AB→求点P的坐标．(1)－146(2)(0,6,2)2，185，115[(1)由l1∥l2可知，向量(－7,3,4)和(x，y,8)共线，所以x－7＝y3＝84，解得x＝－14，y＝6.(2)AB→＝(0,6,2)是直线AB的一个方向向量．由AP∶PB＝3∶2，得AP→＝35AB→.设P(x，y，z)，则(x－2，y，z－1)＝35(0,6,2)，即x－2＝0，y＝185，z－1＝2·35，解得x＝2，y＝185，z＝115，所以直线AB的一个方向向量是(0,6,2)，点P的坐标为2，185，115.]1．应注意直线AB的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置．2[因为l1⊥l2，所以a·b＝0，即－2＋6xy－10＝0，所以xy＝2.]1．若直线l1的方向向量a＝(1,3x，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2,2y,5)，且l1⊥l2，则xy＝________.求平面的法向量【例2】如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，求平面SBA与平面SCD的法向量．[思路探究]因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量n，再利用待定系数法求解．[解]∵AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，∴以A为原点，以AD→，AB→，AS→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D12，0，0，C(1,1,0)，S(0,0,1)，AD→＝12，0，0是平面SBA的法向量，设平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)，有n⊥DC→，n⊥DS→，则n·DC→＝(1，λ，u)·12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n·DS→＝(1，λ，u)·－12，0，1＝－12＋u＝0，∴u＝12，∴n＝1，－12，12.1．利用待定系数法求平面法向量的步骤2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0.2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量．[解]以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，M1，1，12，N0，12，1.∴AM→＝0，1，12，AN→＝－1，12，1.设平面AMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，∴n·AM→＝y＋12z＝0，n·AN→＝－x＋12y＋z＝0，令y＝2，∴x＝－3，z＝－4，∴n＝(－3,2，－4).方向向量与法向量的特征[探究问题]1．如何正确地判断直线的方向向量？[提示](1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备以下两个方面的限制：①不能为零向量；②与该直线平行或重合．(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．(3)给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定惟一一条过点A且平行于向量a的直线．(4)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．2．过空间任意一定点P，能否作出平面α的法向量？能作几条？[提示]由于过空间任意一点P，有且仅有一条直线PO垂直于平面α，因此，过空间任意一点都能作出平面α的法向量．由于直线PO的方向向量有无数个，因此，过点P的平面α的法向量也有无数个．3．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？[提示]根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．4．依据待定系数法求出的平面法向量惟一吗？[提示]不惟一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组n·a＝0，n·b＝0有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个赋特殊值(常赋值－1,0,1)即可确定一个法向量，赋值不同，所得法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量．5．利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关系？[提示](1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)．【例3】根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系．(1)平面α，β的法向量分别是u＝(－1,1，－2)，ν＝3，2，－12；(2)直线l的方向向量a＝(－6,8,4)，平面α的法向量u＝2，2，－1.[思路探究]利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系．[解](1)∵u＝(－1,1，－2)，ν＝3，2，－12，∴u·ν＝(－1,1，－2)·3，2，－12＝－3＋2＋1＝0，∴u⊥ν，故α⊥β.(2)∵u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)，∴u·a＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0，∴u⊥a，故l⊂α或l∥α.3．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系．(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9，0)．[解](1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，即l1⊥l2.(2)∵u＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9,0)，∴ν＝－3u，∴ν∥u，即α∥β.引入直线的方向向量和平面的法向量这两个概念之后，使空间点线面的位置关系数量化，也就是说，每一种特殊的点、线、面位置关系(如线线平行、垂直，线面平行、垂直，面面平行、垂直)都对应着一个重要的等量关系．如何巧妙地利用这些等量关系，正是解题的关键所在．当堂达标固双基[答案](1)√(2)×(3)√(4)√(5)√1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量AB→是直线l的一个方向向量，则向量BA→也是l的一个方向向量．()(2)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．()(3)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．()(4)一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．()(5)一个平面的法向量就是这个平面的垂线的方向向量．()2．已知直线l过A(3,2,1)，B(2,2,2)，且a＝(2,0，x)是直线l的一个方向向量，则x＝()A．2B．－2C．3D．－3B[AB→＝(－1,0,1)，由题意知，a∥AB→，则存在实数λ，使a＝λAB→，即(2,0，x)＝λ(－1,0,1)，即2＝－λ，x＝λ，∴λ＝－2，x＝－2.](1,1,0)(答案不唯一)[设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB→＝z＝0，n·AC→＝－x＋y＋z＝0，令x＝1，则y＝1，z＝0，即n＝(1,1,0)．则平面ABC的一个法向量为(1,1,0)．]3．已知A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的法向量为________．4．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝1，求平面ABC1的一个法向量．[解]法一：设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)．∵B(0,0,0)，A(0,1,0)，C1(1,0,1)，∴BA→＝(0,1,0)，BC1→＝(1,0,1)，则n·BA→＝y＝0，n·BC1→＝x＋1＝0，解得x＝－1，y＝0，∴n＝(－1,0,1)．法二：设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)．∵B(0,0,0)，A(0,1,0)，C1(1,0,1)，∴BA→＝(0,1,0)，BC1→＝(1,0,1)，则n·BA→＝y＝0，n·BC1→＝x＋z＝0，令z＝1，则x＝－1，y＝0，∴n＝(－1,0,1)．