2019-2020学年高中数学 第3章 概率 复习课——查漏补缺 巩固提高课件 新人教A版必修3

概率第三章复习课(三)概率——查漏补缺3.1.1几何概型考点一互斥事件和对立事件的概率互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件最多只发生一个；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生．所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，若A与B互为对立事件，则利用公式P(A)＝1－P(B)求解．【典例1】黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：血型ABABO该血型的人所占比例(%)2829835已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是B型血，若张三因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？[解](1)对任一人，其血型为A，B，AB，O的事件分别记为A′，B′，C′，D′，由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35，因为B，O型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件B′∪D′.依据互斥事件概率的加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)解法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件A′∪C′，依据互斥事件概率的加法公式，有P(A′∪C′)＝P(C′)＋P(A′)＝0.28＋0.08＝0.36.解法二：因为事件“任找一人，其血可以输给张三”与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有P(A′∪C′)＝1－P(B′∪D′)＝1－[P(B′)＋P(D′)]＝1－0.64＝0.36.在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．[针对训练]1．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？[解]把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝35.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝910.考点二古典概型古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的结果数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P(A)＝mn求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．【典例2】一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座，如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位，如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，此时共有4种坐法，下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表格空格处)；(2)若乘客P1坐在了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客P5坐到5号座位的概率．乘客P1P2P3P4P53214532451座位号[解](1)余下两种坐法如下表所示：乘客P1P2P3P4P532415座位号32541(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐．则所有可能的坐法可用下表表示为：乘客P1P2P3P4P521345231452341523451235412431524351座位号25341于是，所有可能的坐法共8种．设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4.所以P(A)＝48＝12.乘客P5坐到5号座位的概率是12.[针对训练]2．现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2,3,4”，第二组卡片上分别写有数字“3,4,5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为()A.13B.49C.59D.23[解析]抽取卡片上的数字的所有可能为(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,3)，(3,4)，(3,5),(4,3)，(4,4)，(4,5)，共9种可能，其中第一组数字减去第二组数字的差为负数的有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共6种可能，故其概率为P＝69＝23.故选D.[答案]D考点三几何概型若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于其结果的无限性，概率就不能应用P(A)＝mn求解，而需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解，体现了数形结合的数学思想．【典例3】已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.(1)若a、b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率．[解](1)基本事件(a，b)共有36个，且a，b∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于a－20,16－b20，Δ≥0，即a2，－4b4，(a－2)2＋b2≥16.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A，则事件A所包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P(A)＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，设“一元二次方程无实数根”为事件B，则构成事件B的区域为B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b216}，如图可知构成事件Ω的区域面积为S(Ω)＝16.构成事件B的区域面积为：S(B)＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P(B)＝4π16＝π4.几何概型问题的解题方法(1)由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用P(A)＝mn求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．(2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题．[针对训练]3．将长为l的绳子随机剪成三段，求三段能构成三角形的概率．[解]记事件A为“三段能构成三角形”，如图．设x，y分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为l－x－y.则试验的全部结果可构成区域Ω：{(x，y)|0xl,0yl,0x＋yl}，区域Ω的面积为SΩ＝l22.若能构成三角形，则有任意两边之和大于第三边．即x＋yl－x－y⇒x＋yl2，x＋l－x－yy⇒yl2，y＋l－x－yx⇒xl2.故事件A“三段能构成三角形”所构成的区域为x，y|x＋yl2，yl2，xl2(即图中阴影部分)，其面积为SA＝12·l22＝l28.所以P(A)＝SASΩ＝l28l22＝14.考点四概率与统计的综合问题统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．【典例4】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．[解](1)由频率分布直方图可知：(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，解得a＝0.006.(2)由频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为110.[针对训练]4．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．[解](1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160cm～179cm之间，而乙班身高集中于170cm～179cm之间．因此乙班平均身高高于甲班；(2)甲班的平均身高x＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170(cm)．甲班的样本方差s2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm2)．(3)设“身高为176cm的同学被抽中”为事件A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，∴P(A)＝410＝25.即身高