2019-2020学年高中数学 第3章 概率 3.2.1 古典概型 3.2.2 概率的一般加法公式（

第三章概率3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式(选学)学习目标核心素养1.理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．(难点)2．会用列举法求古典概型的概率．(重点)3．应用古典概型的概率计算公式求复杂事件的概率．(难点)1.通过古典概型及其特征的学习，体现了数学抽象的数学核心素养．2．通过古典概型概率的求解，培养数学运算的数学核心素养.自主探新知预习1．古典概型(1)古典概型的概念：同时具有以下两个特征的试验称为古典概型：①有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有，即只有不同的基本事件；②等可能性：每个基本事件发生的可能性是．均等的有限个有限个(2)概率的古典定义：在基本事件总数为n的古典概型中，①每个基本事件发生的概率为；②如果随机事件A包含的基本事件数为m，由互斥事件的概率加法公式可得P(A)＝，所以在古典概型中P(A)＝事件A包含的基本事件数试验的基本事件总数，这一定义称为概率的古典定义．1nmn思考：从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？[提示]不是．因为有无数个基本事件．2．概率的一般加法公式(选学)(1)事件A与B的交(或积)：由事件A和B所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作．(2)设A，B是Ω的两个事件，则有P(A∪B)＝_____________________，这就是概率的一般加法公式．P(A)＋P(B)－P(A∩B)同时发生D＝A∩B(或D＝AB)1．下列关于古典概型的说法中正确的是()①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝kn.A．②④B．①③④C．①④D．③④B[根据古典概型的特征与计算公式进行判断，①③④正确，②不正确．]2．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则()A．p1p2p3B．p2p1p3C．p1p3p2D．p3p1p2C[本题考查简单的概率运算．在表格中表示出两枚骰子向上的点数的所有可能情况如下：123456123456723456783456789456789105678910116789101112则p1＝1036，p2＝2636，p3＝1836.故p1p3p2.]3．从甲、乙、丙三人中任选两人参加某项活动，其中“甲被选中”这一事件所含的基本事件有________个．2[(甲，乙)，(甲，丙)，共2个．]4．已知A，B是两个事件，且P(A∪B)＝0.2，P(A)＝P(B)＝0.3，则P(AB)＝________.0.4[由概率的一般加法公式P(AB)＝－P(A∪B)＋P(A)＋P(B)＝0.3＋0.3－0.2＝0.4.]合作提素养探究基本事件的列举问题【例1】有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数．试写出下列事件所包含的全部基本事件：(1)试验的基本事件；(2)事件“朝下点数之和大于3”；(3)事件“朝下点数相等”；(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”．[思路探究]根据事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，列举出来即可．[解](1)这个试验的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(3)事件“朝下点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个基本事件：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)．1．根据基本事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，就得到基本事件．2．求基本事件个数常用列举法、列表法、树状图法来解决，并且注意以下几个方面：(1)用列举法时要注意不重不漏；(2)用列表法时注意顺序问题；(3)用树状图法时若是有顺序问题，只作一个树状图然后乘以元素个数．1．连续抛掷三枚质地均匀的硬币，观察落地后这三枚硬币出现正面还是反面．(1)写出这个试验的基本事件；(2)求这个试验的基本事件总数；(3)“恰有两枚硬币正面向上”这一事件包含了哪几个基本事件？[解](1)这个试验的基本事件为：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)基本事件总数是8.(3)事件“恰有两枚硬币正面向上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．古典概型的判断及其概率计算[探究问题]1．基本事件有何特征？[提示]基本事件是试验的最基本的结果，在一次试验中，基本事件不可能同时发生，故基本事件都是互斥的，其他试验的结果都可以用基本事件来表示．2．若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型吗？为什么？[提示]不一定符合，因为一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具备古典概型的两个特点：有限性与等可能性．上述试验还必须满足每个基本事件出现的可能性相等才符合古典概型．3．古典概型的概率计算的基本步骤有哪些？[提示]首先，阅读题目，收集题目中的各种信息；其次，判断基本事件是否为等可能事件，并用字母A表示所求事件；再次，求出试验的基本事件的总数n及事件A包含的基本事件数m；最后，利用公式P(A)＝事件A包含的基本事件数试验的基本事件总数＝mn，求出事件A的概率．【例2】(1)下列试验是古典概型的为________．①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小相等；②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．(2)袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．写出所有不同的结果，判断是否为古典概型并求至少摸到1个黑球的概率．[思路探究](1)紧扣古典概型的两大特征——有限性与等可能性进行判断．(2)写试验的不同结果时可用树状图，判断古典概型时要紧扣其定义与特征，写出至少摸到1个黑球的基本事件，用古典概型概率公式可得概率．(1)①②④[①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．](2)解：用树状图表示所有的结果为：所以所有不同的结果是ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，且在一次试验中，每个基本事件出现的可能性相等，是古典概型问题．记“至少摸出1个黑球”为事件A，则事件A包含的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个基本事件，所以P(A)＝710＝0.7，即至少摸出1个黑球的概率为0.7.1．判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．2．解决古典概型问题的基本方法是列举法，但对于较复杂的古典概型问题，可采用转化的方法：一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率．2．袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：(1)三次颜色恰有两次同色；(2)三次颜色全相同；(3)三次摸到的红球多于白球．[解]所有的基本事件个数n＝8个．全集I＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)}．(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”．∵A中含有基本事件个数为m＝6，∴P(A)＝mn＝68＝0.75.(2)记事件B为“三次颜色全相同”．∵B中含有基本事件个数为m＝2，∴P(B)＝mn＝28＝0.25.(3)记事件C为“三次摸到的红球多于白球”．∵C中含有基本事件个数为m＝4，∴P(C)＝48＝0.5.3．若从甲、乙、丙、丁中任取2人参加某项活动，在列举基本事件时，有人列举为(甲，乙)、(甲，丙)、(甲，丁)、(乙，丙)、(乙，丁)、(丙，丁)共6个，还有人列举为(甲，乙)、(乙，甲)、(甲，丙)、(丙，甲)、(甲，丁)、(丁，甲)、(乙，丙)、(丙，乙)、(乙，丁)、(丁，乙)、(丙，丁)、(丁，丙)共12个．既然基本事件总数都不相同，他们求某一事件的概率一定不相同，对吗？[解]不对，如要求A事件：甲入选的概率时．第一种情况下A包含3个基本事件，P(A)＝36＝12；第二种情况下，A包含6个基本事件，P(A)＝612＝12，概率相同．求概率时，其大小与模型的选择无关，但对于此问题，我们倾向于选择第一种情况．概率的一般加法公式(选学)【例3】甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．[思路探究]由于一人跑四棒中的任一棒都是等可能的，故此试验是古典概型，可以利用概率的一般加法公式求解．[解]设事件A为“甲跑第一棒”，事件B为“乙跑第四棒”，则P(A)＝14，P(B)＝14.记甲跑第x棒，乙跑第y棒，则结果可记为(x，y)，共有12种等可能结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能：(1,4)，故P(A∩B)＝112.所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝14＋14－112＝512.概率的一般加法公式与概率的加法公式在限制条件上的区别为：1在公式PA∪B＝PA＋PB中，事件A、B是互斥事件；2在公式PA∪B＝PA＋PB－PA∩B中，事件A、B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.可借助Venn图直观理解.4．在对200家公司的最新调查中发现，40%的公司在大力研究广告效果，50%的公司在进行短期销售预测，而30%的公司在从事这两项研究．假设从这200家公司中任选一家，记事件A为“该公司在研究广告效果”，记事件B为“该公司在进行短期销售预测”，求P(A)，P(B)，P(A∪B)．[解]P(A)＝40%＝0.4，P(B)＝50%＝0.5，又已知P(A∩B)＝30%＝0.3，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.4＋0.5－0.3＝0.6.1．本节课的重点是了解基本事件的特点，能写出一次试验所出现的基本事件，会用列举法求古典概型的概率．难点是理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．2．本节课要掌握以下几类问题：(1)基本事件的两种探求方法．(2)求古典概型的步骤及使用古典概型概率公式的注意点．(3)利用事件的关系结合古典概型求概率．3．本节课的易错点有两个：(1)列举基本事件时易漏掉或重复，如讲1；(2)判断一个事件是否是古典概型易出错．当堂固双基达标1．思考辨析(1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型．()(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件．()(3)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．()(4)一个古典概型的基本事件数为n，则每一个基本事件出现的概率都是1n.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列