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第三章概率3.1随机事件的概率3.1.3概率的基本性质学习目标核心素养1.了解事件间的包含关系和相等关系.2.理解互斥事件和对应事件的概念及关系.(难点、易混点)3.会用互斥事件与对立事件的概率公式求概率.(重点)4.了解并事件与交事件的概念,会进行事件的运算.1.通过互斥事件与对立事件的学习,体会逻辑推理素养.2.借助概率的求法,提升数学运算素养.自主预习探新知1.事件的关系与运算(1)事件的关系:定义表示法图示包含关系一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)(或相等关系A⊆B且B⊆AA=B一定发生B⊇AA⊆B事件互斥若A∩B为__________,则称事件A与事件B互斥__________事件对立若A∩B为__________,A∪B为________,那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B=∅且A∪B=U不可能事件A∩B=∅不可能事件必然事件(2)事件的运算:定义表示法图示并事件若某事件发生当且仅当______________________,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)______(或______)事件A发生或事件B发生A∪BA+B交事件若某事件发生当且仅当______________________,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)______(或____)事件A发生且事件B发生A∩BAB2.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:__________.(2)必然事件的概率为__,不可能事件的概率为__.(3)概率加法公式为:如果事件A与B为互斥事件,则P(A∪B)=__________________.[0,1]10P(A)+P(B)(4)若A与B为对立事件,则P(A)=____________.P(A∪B)=__,P(A∩B)=__.1-P(B)10思考:在掷骰子的试验中,事件A={出现的点数为1},事件B={出现的点数为奇数},A与B应有怎样的关系?[提示]A⊆B1.同时掷两枚硬币,向上面都是正面为事件A,向上面至少有一枚是正面为事件B,则有()A.A⊆BB.A⊇BC.A=BD.ABA[由事件的包含关系知A⊆B.]2.掷一枚骰子,观察结果,A={向上的点数为1},B={向上的点数为2},则()A.A⊆BB.A=BC.A与B互斥D.A与B对立C[由于事件A与B不可能同时发生,故A、B互斥.]3.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件:事件A:“恰有一件次品”;事件B:“至少有两件次品”;事件C:“至少有一件次品”;事件D:“至多有一件次品”.并给出以下结论:①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∪B=B;④A∪D=C.其中正确的序号是()A.①②B.③④C.①③D.②③A[A∪B表示的事件:至少有一件次品,即事件C,所以①正确,③不正确;D∪B表示的事件:至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确;A∪D表示的事件:至多有一件次品,即事件D,所以④不正确.]4.一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项,其中中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.25,则不中奖的概率为________.0.65[中奖的概率为0.1+0.25=0.35,中奖与不中奖互为对立事件,所以不中奖的概率为1-0.35=0.65.]合作探究提素养互斥事件与对立事件的判定【例1】某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每组事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件:(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.思路点拨:是否可能同时发生→判断是否互斥→是否必有一个发生→判断是否对立[解](1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件;由于事件B与事件E必有一个发生,故B与E是对立事件.(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”,即有可能“不订甲报”,也就是说事件B和事件D有可能同时发生,故B与D不是互斥事件.(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”.也就是说事件B与事件C可能同时发生,故B与C不是互斥事件.(5)由(4)的分析,事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况,所以事件C与事件E可能同时发生,故C与E不是互斥事件.互斥事件、对立事件的判定方法(1)利用基本概念①互斥事件不可能同时发生;②对立事件首先是互斥事件,且必须有一个要发生.(2)利用集合的观点来判断设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A,B.①事件A与B互斥,即集合A∩B=∅;②事件A与B对立,即集合A∩B=∅,且A∪B=I,即A=IB或B=IA.1.一个射手进行一次射击,有下面四个事件:事件A:命中环数大于8;事件B:命中环数小于5;事件C:命中环数大于4;事件D:命中环数不大于6.则()A.A与D是互斥事件B.C与D是对立事件C.B与D是互斥事件D.以上都不对A[由互斥、对立事件的定义可判断A选项正确.]事件的关系及运算【例2】在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1={出现1点},事件C2={出现2点},事件C3={出现3点},事件C4={出现4点},事件C5={出现5点},事件C6={出现6点},事件D1={出现的点数不大于1},事件D2={出现的点数大于3},事件D3={出现的点数小于5},事件E={出现的点数小于7},事件F={出现的点数为偶数},事件G={出现的点数为奇数},请根据上述定义的事件,回答下列问题:(1)请列举出符合包含关系、相等关系的事件;(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件.[解](1)因为事件C1,C2,C3,C4发生,则事件D3必发生,所以C1⊆D3,C2⊆D3,C3⊆D3,C4⊆D3.同理可得,事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5.且易知事件C1与事件D1相等,即C1=D1.(2)因为事件D2={出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点},所以D2=C4∪C5∪C6(或D2=C4+C5+C6).同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5.事件运算应注意的2个问题(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.2.盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球、2个白球},事件B={3个球中有2个红球、1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?(2)事件C与A的交事件是什么事件?[解](1)对于事件D,可能的结果为1个红球、2个白球,或2个红球、1个白球,故D=A∪B.(2)对于事件C,可能的结果为1个红球、2个白球,或2个红球、1个白球,或3个红球,故C∩A=A.互斥事件与对立事件的概率公式及应用[探究问题]1.在同一试验中,对任意两个事件A、B,P(A∪B)=P(A)+P(B)一定成立吗?[提示]不一定,只有A与B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)才成立.2.若P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B是否一定对立?试举例说明.[提示]A与B不一定对立.例如:掷一枚均匀的骰子,记事件A为出现偶数点,事件B为出现1点或2点或3点,则P(A)+P(B)=1,但A、B不对立.【例3】在数学考试中,小明的成绩在90分(含90分)以上的概率是0.18,在80分~89分(包括89分,下同)的概率是0.51,在70分~79分的概率是0.15,在60分~69分的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07,计算:(1)小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率;(2)小明数学考试及格的概率.思路点拨:小明的成绩在80分以上可以看作是互斥事件“80分~89分”“90分以上”的并事件,小明数学考试及格可看作是“60分~69分”“70分~79分”“80分~89分”“90分以上”这几个彼此互斥事件的并事件,又可看作是“不及格”这一事件的对立事件.[解]分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分~89分”“在70分~79分”在“60分~69分”为事件B,C,D,E,这四个事件彼此互斥.(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.(2)法一:小明数学考试及格的概率是P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.法二:小明数学考试不及格的概率是0.07,所以小明数学考试及格的概率是1-0.07=0.93.1.(变结论)本例条件不变,求小明在数学考试中取得80分以下的成绩的概率.[解]分别记小明的成绩“在90分以上”,“在80~89分”,“在70~79分”,“在60~69分”,“在60分以下”为事件A、B、C、D、E,则这五个事件彼此互斥.∴小明成绩在80分以下的概率是:P(C∪D∪E)=0.15+0.09+0.07=0.31.2.(变条件)一盒中装有各种色球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出1球是红球或黑球的概率;(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率.[解]法一:(利用互斥事件求概率)记事件A1={任取1球为红球},A2={任取1球为黑球},A3={任取1球为白球},A4={任取1球为绿球},则P(A1)=512,P(A2)=412,P(A3)=212,P(A4)=112.根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件概率公式,得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=512+412=34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=512+412+212=1112.法二:(利用对立事件求概率)(1)由法一知,取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球,即A1∪A2的对立事件为A3∪A4,所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1-212-112=912=34.(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4.所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-112=1112.互斥事件、对立事件概率的求解方法(1)互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B).(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求其反面,然后转化为所求问题.1.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的,它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能两个都发生;而两个对立事件必有一个发生,但是不可能两个事件同时发生,也不可能两个事件都不发生.所以两个事件互斥,它们未必对立;反之两个事件对立,它们一定互斥.2.互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式,解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥,只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)=P(A
本文标题:2019-2020学年高中数学 第3章 概率 3.1.3 概率的基本性质课件 新人教A版必修3
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