2019-2020学年高中数学 第3章 导数应用 1 1.2 函数的极值课件 北师大版选修2-2

第三章导数应用§1函数的单调性与极值1.2函数的极值学习目标核心素养1．理解函数的极大值和极小值的概念．(难点)2．掌握求极值的步骤，会利用导数求函数的极值．(重点、难点)1．借助图象理解函数的极大值和极小值，提升了学生的直观想象的核心素养．2．通过利用导数求函数的极值的学习，培养了学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.自主预习探新知1．极大值点与极大值如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的，其函数值f(x0)为函数的．都小于或等于极大值点极大值2．极小值点与极小值如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的，其函数值f(x0)为函数的．极小值都大于或等于极小值点[提醒]在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．3．极值的判断方法如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是，f(x0)是；如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是，f(x0)是．极小值极大值点极大值极小值点4．求函数y＝f(x)极值点的步骤(1)求出导数f′(x)．(2)解方程f′(x)＝0.(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0．不是极值点极大值点极小值点思考：导数为0的点都是极值点吗？[提示]不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．1．下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是()①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.A．①②B．②③C．③④D．①③B[y′＝3x2≥0恒成立，所以函数y＝x3在R上单调递增，无极值点，①不符合；y′＝2x，当x0时，函数y＝x2＋1单调递增，当x0时，函数y＝x2＋1单调递减，②符合；结合该函数图像可知，函数y＝|x|在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，③符合；函数y＝2x在R上单调递增，无极值点，④不符合．]2．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有()A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值C[由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.当x＜－1或x＞3时，y′＞0；由－1＜x＜3时，y′＜0，∴当x＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2,2)，故无极小值．]3．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝__________处取得极小值．2[由f(x)＝x3－3x2＋1，得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．当x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)为减函数；当x∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f′(x)0，f(x)为增函数．故当x＝2时，函数f(x)取得极小值．]合作探究提素养求函数的极值【例1】求下列函数的极值．(1)f(x)＝x2－2x－1；(2)f(x)＝x44－23x3＋x22－6；(3)f(x)＝|x|.[解](1)f′(x)＝2x－2，令f′(x)＝0，解得x＝1．因为当x1时，f′(x)0，当x1时，f′(x)0，所以函数在x＝1处有极小值，且f(x)极小值＝－2．(2)f′(x)＝x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2．令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝1．所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0＋f(x)单调递减↘极小值单调递增↗无极值单调递增↗所以当x＝0时，函数取得极小值，且f(x)极小值＝－6.(3)f(x)＝|x|＝x，x≥0，－x，x0.显然函数f(x)＝|x|在x＝0处不可导，当x0时，f′(x)＝x′＝10，函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；当x0时，f′(x)＝(－x)′＝－10，函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．故当x＝0时，函数取得极小值，且f(x)极小值＝0.极值点与导数的关系1．可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点．点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：(1)f′(x0)＝0；(2)点x0两侧f′(x)的符号不同．2．不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y＝x，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．1．已知函数f(x)＝x2－2lnx，则f(x)的极小值是________．1[∵f′(x)＝2x－2x，且函数定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，当x∈(0,1)时，f′(x)0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1．]利用函数的极值求参数【例2】已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－23时都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若f(－1)＝32，求f(x)的单调区间和极值．思路探究：(1)求导函数f′(x)，则由x＝1和x＝－23是f′(x)＝0的两根及根与系数的关系求出a，b.(2)由f(－1)＝32求出c，再列表求解．[解](1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令f′(x)＝0，由题设知x＝1与x＝－23为f′(x)＝0的解．∴1－23＝－23a，1×－23＝b3，∴a＝－12，b＝－2．(2)由(1)知f(x)＝x3－12x2－2x＋c，由f(－1)＝－1－12＋2＋c＝32，得c＝1，∴f(x)＝x3－12x2－2x＋1，∴f′(x)＝3x2－x－2．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，－23－23－23，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增↗4927单调递减↘－12单调递增↗∴f(x)的递增区间为－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间为－23，1.当x＝－23时，f(x)有极大值为f－23＝4927；当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－12.已知函数极值求解析式的两点注意(1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．2．已知函数f(x)＝13x3－12(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．[解]f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，所以导数f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．所以Δ＝m＋32－4m＋60，f′1＝1－m＋3＋m＋60，m＋321，解得m3，故实数m的取值范围是(3，＋∞)．函数极值的综合应用[探究问题]1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？[提示]一个．x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点，x1，x3是极大值点．2．函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？[提示]不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．【例3】已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．思路探究：求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．[解]令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1．当x－1时，f′(x)0；当－1x1时，f′(x)0；当x1时，f′(x)0.所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.因为方程f(x)＝0有三个不同实根，所以y＝f(x)的图像与x轴有三个交点，如图．由已知应有2＋a0，－2＋a0，解得－2a2，故实数a的取值范围是(－2,2)．1．本例中，若把“三个不同实根”改为“唯一一个实根”，结果如何？[解]由已知应有2＋a0或－2＋a0.即a2或a－2．2．本例中，若把“三个不同实根”改为“恰有两个实根”，结果如何？[解]由条件可知，只要2＋a＝0或－2＋a＝0即可，即a＝±2．转化的思想求导数范围的应用方程f(x)＝0的根就是函数y＝f(x)的零点，是函数图像与x轴交点的横坐标，研究方程的根的问题可以转化为函数图像与x轴交点的问题．我们可以根据函数图像在坐标轴中的位置不同，结合极值的大小确定参数的范围．3．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？[解](1)f′(x)＝3x2－2x－1．令f′(x)＝0，则x＝－13或x＝1．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，－13－13－13，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增↗极大值单调递减↘极小值单调递增↗所以f(x)的极大值是f－13＝527＋a，极小值是f(1)＝a－1．(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)0，x取足够小的负数时，有f(x)0，所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f－13＝527＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1．∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值0或f(x)极小值0，即527＋a0或a－10，∴a－527或a1，∴当a∈－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．1．函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．由图可以看出，极大值的对应点是局部的“高峰”，极小值的对应点是局部的“低谷”．2．极值点是函数定义域内的自变量的值，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．3．函数在定义域内可能有许多极大值或极小值，但极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．4．若函数f(x)在[a，b]上有极值且函数图像连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．当堂达标固双基1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有两个极值．()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．()(3)函数f(x)＝1x有极值．()[答案](1)√(2)√(3)×2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A．－4B．－2C．4D．2D[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x－2或x2时，f′(x)0；当－2x2时，f′(x)0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．