2019-2020学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.3.2 利用导数研究函数的极值（一）课件

第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.2利用导数研究函数的极值(一)学习目标核心素养1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法．(重点)3.掌握函数在某一点取得极值的条件．(难点)1.通过极值的概念及极值与导数的关系的学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助利用导数求函数极值的方法提升学生的逻辑推理、数学运算素养.自主预习探新知1．函数极值的概念满足条件：函数y＝f(x)的定义域内一点x0，存在____________________．(1)极大值点与极大值条件：对于开区间内所有点x，都有____________________．结论：f(x)在点x0处取得______，____为函数f(x)的一个极大值点，记作：____________________．一个包含x0的开区间f(x)＜f(x0)极大值x0y极大值＝f(x0)(2)极小值点与极小值条件：对于开区间内所有点x，都有____________________．结论：f(x)在点x0处取得______，____为函数f(x)的一个极小值点，记作：____________________．f(x)＞f(x0)极小值x0y极小值＝f(x0)思考1：极值点是不是一个点？[提示]极值点不是点，是函数f′(x)的变号零点，是函数取得极值的点的横坐标，是一个实数．2．函数的单调性与极值(1)x0是(a，b)上的极大值点：①f′(x0)＝__.②x∈(a，x0)时，f(x)是____的．③x∈(x0，b)时，f(x)是____的．(2)x0是(a，b)上的极小值点：①f′(x0)＝__.②x∈(a，x0)时，f(x)是____的．③x∈(x0，b)时，f(x)是____的．0增加减少0减少增加3．求可导函数y＝f(x)的极值的步骤(1)求导数__________．(2)求方程______________的所有实数根．(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的______，导函数f′(x)的符号如何变化．①如果f′(x)的符号________，则f(x0)是极大值．②如果f′(x)的符号________，则f(x0)是极小值．③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧________，则f(x0)不是极值．f′(x)f′(x)＝0左右侧由正变负由负变正符号不变思考2：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？[提示]导数值为0的点不一定是函数的极值点，还要看在这一点附近导数的正负情况．1．设定义在(a，b)上的可导函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极值点的个数为()A．1B．2C．3D．4C[在极值点两侧导数一正一负，观察图象可知极值点有3个．]2．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则()A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点A[由f′(x)的图象可知f(x)在(－∞，x2)内递增，在(x2，x3)内递减，在(x3，＋∞)递增，所以x2是f(x)的极大值点，x3是f(x)的极小值点．]3．函数y＝3x3－9x＋5的极大值为________．11[y′＝9x2－9，令y′＝0，得x＝±1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)y′＋0－0＋y↗极大值↘极小值↗从上表可以看出，当x＝－1时，函数y有极大值3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.]合作探究提素养求函数的极值和极值点【例1】求下列函数的极值．(1)f(x)＝3x＋3lnx；(2)f(x)＝x3－12x；(3)f(x)＝2xx2＋1－2.[思路探究]解答本题可先求使f′(x)＝0成立的点，再结合定义域研究这些点附近左右两侧函数的单调性，进而判断极值．[解](1)函数f(x)＝3x＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3x－1x2，令f′(x)＝0得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘3↗因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且极小值为f(1)＝3.(2)函数f(x)的定义域为R；f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2或x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗16↘－16↗∴由上表可知，当x＝－2时，f(x)有极大值16，当x＝2时，f(x)有极小值－16.(3)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝x2＋－4x2x2＋2＝－x－x＋x2＋2.令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化状态如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘－3↗－1↘由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值f(－1)＝－22－2＝－3，当x＝1时，函数有极大值f(1)＝22－2＝－1.求可导函数极值的步骤1确定函数的定义区间，求导数f′x.2求fx的拐点，即求方程f′x＝0的根.3利用f′x与fx随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.提醒：不要忽略函数的定义域.1．求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝lnxx.[解](1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状态如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗10↘－22↗因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22.(2)函数f(x)＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1－lnxx2，令f′(x)＝0，得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状态如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗1e↘因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝1e，没有极小值.已知函数极值求参数的值(范围)[探究问题]1．可导函数f(x)在点x0处取极值的充要条件是什么？[提示](1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数y＝f(x)在一点的导数值为零是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．”(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同．(3)如果在x0的两侧f′(x)的符号相同，则x0不是f(x)的极值点．2．函数在某个区间上有多个极值点，那么一定既有极大值也有极小值吗？[提示](1)函数f(x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．(2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的．【例2】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．[思路探究]由函数f(x)在x＝－1处有极值，可得f′(－1)＝0且f(－1)＝0，由此列出方程求a，b的值，但还要注意检验求出的a，b的值是否满足函数取得极值的条件．[解]因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，所以f′－1＝0，f－1＝0，即3－6a＋b＝0，－1＋3a－b＋a2＝0，解得a＝1，b＝3或a＝2，b＝9.当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上是增函数，无极值，故舍去．当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．因为当x∈(－3，－1)时，f(x)是减少的；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)是增加的，所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.1．(变换条件，改变问法)本例的其他条件不变，如果直线y＝k与函数图象有三个交点，求k的取值范围．[解]由典例的解析可知f(x)＝x3＋6x2＋9x＋4，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，令f′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝－1.根据x1，x2列表，分析f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值点．x(－∞，－3)－3(－3，－1)－1(－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的极大值是f(－3)＝4，极小值是f(－1)＝0.函数图象大致如图所示：要使直线y＝k与函数图象有三个交点，则0＜k＜4.2．(变换条件)本例的条件改为“x＝－3，x＝－1是f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2的两个极值点”，求常数a，b的值．[解]因为f′(x)＝3x2＋6ax＋b，由极值点的必要条件可知3×－32＋6a×－3＋b＝0，3×－12＋6a×－1＋b＝0，即－18a＋b＋27＝0，－6a＋b＋3＝0，解得a＝2，b＝9，所以a＝2，b＝9.由函数的极值点求参数的步骤1列式：根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.2验证：因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.函数极值的综合应用【例3】设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．[思路探究](1)由求极值的步骤可得；(2)法一：使极大值或极小值为0，可使f(x)恰有两个实根；法二：将方程的根转化为两函数的图象问题，利用函数单调性及极值画出函数大致图象，判断即可．[解](1)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.∵当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0，当x∈(－1,1)时，f′(x)0，当x∈(1，＋∞)时f′(x)0，∴f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.(2)法一：∵f(x)在(－∞，－1)上单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞，而a＋2a－2，即函数的极大值大于极小值，∴当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，如图①所示．∴a＋2＝0，a＝－2.①②当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，如图②所示．∴a－2＝0，a＝2.综上所述，当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．法二：方程f(x)＝0恰好有两个实数根，等价于直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有两个交点．∵y＝x3－3x，∴y′＝3x2－3.令y′0，解得x1或x－1；令y′0，解得－1x1.∴y＝x3－3x在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)和(－∞，－1)上为增函数．∴当x＝－1时，y极大值＝2；当x＝1时，y极小值＝－2.∴y＝x3－3x的大致图象如图③.y＝a表示平行于x轴的一条直线．由图象知，当a＝2或a＝－2时，y＝a与y＝x3－3x有两个相异交点．故当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．对于求方程fx＝a的根的个数问题，我们可转化为求函数y＝fx与函数y＝a的图象的交点个数问题.在解决问题时，可遵循以下步骤：第一步：利用导数判断函数y＝fx的单调性、极值等情况，综合各种信息画出函数y＝fx的大