2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第1课时 一元二次不

3.2一元二次不等式及其解法第一课时一元二次不等式及其解法(一)登高揽胜拓界展怀课前自主学习学习目标1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．2．掌握图象法解一元二次不等式．3．能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决．知识点一|一元二次不等式的概念阅读教材P76～P77，完成下列问题．‖知识梳理‖一元二次不等式定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式表达式ax2＋bx＋c0，ax2＋bx＋c0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数ax2＋bx＋c0(a≠0)解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c0(a≠0)解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c≥0(a≠0)解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合解集ax2＋bx＋c≤0(a≠0)解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合‖思考辨析‖1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式ax2＋x－10是一元二次不等式．()(2)不等式x2－5y0是一元二次不等式．()答案：(1)×(2)×知识点二|“三个二次”的关系阅读教材P77～P78，完成下列问题．‖知识梳理‖二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0ax2＋bx＋c＝0(a0)的根x1，x2x0＝－b2a__________ax2＋bx＋c0(a0)的解集2______________3____________4_______没有实数根{x|xx2或xx1}xx≠－b2aRΔ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0ax2＋bx＋c0(a0)的解集5_____________6_____7________{x|x1xx2}∅∅‖思考辨析‖2．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)解不等式ax2＋bx＋c0，即求横坐标x取哪些值时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方．()(2)解不等式的结果要写成集合形式的原因是集合的元素具有确定性，可以严谨地界定哪些元素是解，哪些不是．()答案：(1)×(2)√‖小试身手‖1．不等式2x2－x－10的解集是()A．－12，1B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．－∞，－12∪(1，＋∞)解析：选D由2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)0，解得x－12或x1，即不等式的解集为－∞，－12∪(1，＋∞)．故选D.2．不等式－x2－5x＋6≤0的解集为()A．{x|x≥6或x≤－1}B．{x|x≤2或x≥3}C．{x|－6≤x≤1}D．{x|x≤－6或x≥1}解析：选D∵不等式－x2－5x＋6≤0可化为x2＋5x－6≥0，即(x＋6)(x－1)≥0，∴{x|x≤－6或x≥1}，故选D.3．不等式x2－x＋10的解集为_____________．答案：R剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)2x2－3x－20；(2)x2－3x＋50；(3)－6x2－x＋2≥0；(4)－4x2≥1－4x；(5)2x2－4x＋70.[解](1)∵Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝250，∴方程2x2－3x－2＝0有两个不同实根，分别是－12，2.∴原不等式的解集为xx2或x－12.(2)∵Δ＝(－3)2－4×5＝9－20＝－110，∴x2－3x＋50的解集为R.(3)原不等式可化为6x2＋x－2≤0，∵Δ＝12－4×6×(－2)＝490，∴方程6x2＋x－2＝0有两个不同实根，分别是－23，12.∴原不等式的解集为x－23≤x≤12.(4)∵原不等式可化为4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，∴原不等式的解集是xx＝12.(5)∵Δ＝(－4)2－4×2×7＝－400，∴不等式2x2－4x＋70的解集为∅.[方法总结]解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零．(2)计算相应的判别式．(3)当Δ0时求出相应的一元二次方程的两根．(4)根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集.1．解下列不等式：(1)2x2＋7x＋30；(2)x2－4x－5≤0；(3)－4x2＋18x－814≥0；(4)－12x2＋3x－50；(5)－2x2＋3x－20.解：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝250，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为xx－12或x－3.(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．(3)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94.(4)原不等式可化为x2－6x＋100，因为Δ＝(－6)2－40＝－40，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x2－3x＋20，因为Δ＝9－4×2×2＝－70，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.题型二应用三个“二次”之间的关系解题互动探究【例2】已知关于x的不等式x2＋ax＋b0的解集为{x|1x2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋10的解集．[解]∵x2＋ax＋b0的解集为{x|1x2}，∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根．由根与系数的关系得－a＝1＋2，b＝1×2，得a＝－3，b＝2，代入所求不等式，得2x2－3x＋10.由2x2－3x＋10⇔(2x－1)(x－1)0⇔x12或x1.∴bx2＋ax＋10的解集为－∞，12∪(1，＋∞)．探究1若条件变为x2＋ax＋b0的解集为{x|x1或x2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋10的解集．解：∵x2＋ax＋b0的解集为{x|x1或x2}，∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根，由1＋2＝－a，1×2＝b，∴a＝－3，b＝2.∴bx2＋ax＋10⇔2x2－3x＋10，解得x12或x1.故解集为－∞，12∪(1，＋∞)．探究2若条件变为ax2＋bx＋c≥0的解集为x－13≤x≤2，求关于cx2＋bx＋a0的解集．解：由ax2＋bx＋c≥0的解集为x－13≤x≤2知，a0.且－13×2＝ca0，则c0.又－13，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－ba＝53，∴ba＝－53.又ca＝－23，∴b＝－53a，c＝－23a.∴不等式变为－23ax2＋－53ax＋a0，即2ax2＋5ax－3a0.又∵a0，∴2x2＋5x－30，所求不等式的解集为x－3x12.[方法总结]三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：题型三解含参数的一元二次不等式【例3】解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－10(a∈R)．[解]原不等式可化为，(ax＋1)(x－1)0，当a＝0时，x1；当a0时，x＋1a(x－1)0.∴－1ax1；当a＝－1时，x≠1；当－1a0时，－1a1，∴x－1a或x1；当a－1时，即－1a1，∴x1或x－1a，综上所述，原不等式的解集是当a＝0时，{x|x1}；当a0时，x－1ax1；当－1a0时，xx1或x－1a；当a＝－1时，{x|x≠1}；当a－1时，xx－1a或x1.[方法总结]解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.2．解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a0.解：方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a－1时，原不等式解集为{x|ax－1}；当a＝－1时，原不等式解集为∅；当a－1时，原不等式解集为{x|－1xa}．知识归纳自我测评堂内归纳提升1．把握1个关系2．掌握2种方法解一元二次不等式的2种常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c0(a0)或ax2＋bx＋c0(a0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当mn时，若(x－m)(x－n)0，则可得{x|xn或xm}；若(x－m)(x－n)0，则可得{x|mxn}．有口诀如下：大于取两边，小于取中间．3．记住3种分类讨论标准对字母系数分类讨论时，要注意确定分类的标准，而且分类时要不重不漏．一般方法是：(1)当二次项系数不确定时，按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行分类．(2)判别式大于零时，还需要讨论两根的大小．(3)判别式不确定时，按判别式大于零、等于零、小于零三种情况讨论．「自测检评」1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是()A．xx≠－13B．x－13≤x≤13C．∅D．－13解析：选D原不等式变形为(3x＋1)2≤0.故x＝－13.故选D.2．不等式x23x的解集为()A．{x|x3}B．{x|x0或x3}C．RD．{x|0x3}解析：选D∵x23x，∴x2－3x0，即x(x－3)0，∴0x3，故选D.3．不等式5－x24x的解集为()A．(－5,1)B．(－1,5)C．(－∞，－5)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(5，＋∞)解析：选A不等式可化为x2＋4x－50，由y＝x2＋4x－5的图象开口向上，又x2＋4x－5＝0的两根为－5,1.由图象知原不等式的解集为(－5,1)．故选A.4．设f(x)＝x2＋bx＋1，且f(－1)＝f(3)，则f(x)0的解集为_____________．解析：由f(－1)＝f(3)得出，f(x)的对称轴方程为x＝1.即x＝－b2＝1，∴b＝－2，∴f(x)＝x2－2x＋1，∴f(x)0的解为x≠1的全体实数．答案：{x|x∈R，且x≠1}5．解关于x的不等式x2－x－a(a－1)0.解：原不等式可以化为，(x＋a－1)(x－a)0，∴当a－(a－1)，即a12时，原不等式的解集为{x|xa或x1－a}；当a＝－(a－1)，即a＝12时，由x－1220，得原不等式的解集为xx≠12；当a－(a－1)，即a12时，原不等式的解集为{x|xa或x1－a}．