2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质 第二课时

第二章圆锥曲线与方程2．4抛物线2．4.2抛物线的简单几何性质第二课时直线与抛物线的位置关系梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．掌握直线与抛物线的位置关系的判定方法．2．会用方程、数形结合的思想解决直线与抛物线的位置关系、弦长及中点弦问题．‖知识梳理‖直线与抛物线y2＝2px的位置关系及判定位置关系公共点判定方法相交___________公共点k＝0或k≠0Δ＞0相切_______公共点Δ＝0相离_______公共点Δ＜0联立直线与抛物线方程，得到一个一元二次方程，记判别式为Δ1个或2个一个无解剖难点探究提高重点难点突破以直线与抛物线的交点个数为标准，直线与抛物线的位置关系如下：直线与抛物线一个交点直线与抛物线相切直线与抛物线相交两个交点直线与抛物线相交没有交点直线与抛物线相离判断直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程的二次项系数为0，直线与抛物线相交，只有一个交点；若该方程为二次方程，则利用判别式判断方程解的个数，在解题时，注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一直线与抛物线位置关系的判断已知抛物线的方程为y2＝2x，直线l的方程为y＝kx＋1(k∈R)．当k分别为何值时，直线l与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【思路探索】欲解此题，需将直线与抛物线方程联立消元，通过讨论方程解的个数来确定方程组解的个数，进而判断位置关系．【解】由y2＝2x，y＝kx＋1，得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.(*)当k＝0时，方程可化为x＝12，方程有一个解，∴原方程组只有一个解，∴直线l与抛物线只有一个交点；当k≠0时，k2x2＋2(k－1)x＋1＝0为二次方程，当Δ＝22(k－1)2－4k2＝0，即k＝12时，方程(*)只有一个解，此时直线l与抛物线相切，只有一个交点；当Δ＞0且k≠0，即k＜12且k≠0时，方程(*)有两个解，此时直线l与抛物线有两个公共点．当Δ＜0且k≠0，即k＞12时，方程(*)没有实数解，此时直线l与抛物线没有公共点．综上，当k＝0或k＝12时，直线l与抛物线只有一个公共点；当k＜12且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点；当k＞12时，直线l与抛物线没有公共点．[名师点拨]设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋c＝0.(1)若a≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．(2)若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此，直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.如果直线l过定点M(1,2)且与抛物线y＝2x2有且只有一个公共点，求直线l的方程．解：当直线l的斜率不存在时，x＝1与对称轴平行，有一个交点；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y－2＝k(x－1)，即y＝k(x－1)＋2，由y＝kx－1＋2，y＝2x2，得2x2－kx＋k－2＝0，由Δ＝k2－8(k－2)＝0，得k＝4，所以直线l的方程为y＝4x－2.综上，直线l的方程为x＝1或y＝4x－2.题型二有关弦长、中点弦问题过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，且该弦恰被Q平分，求AB所在的直线方程及|AB|.【思路探索】由于Q为中点，故求AB所在的直线方程可用点差法，也可将AB所在的直线方程设出，与抛物线联立，利用韦达定理求出斜率k，得出直线方程，弦长|AB|利用公式可得．【解】解法一：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线存在斜率．当AB不垂直于x轴时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)．由y2＝8x，y＝kx－4＋1消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，则y1＋y2＝8k，y1y2＝8－32kk.又由题意得y1＋y2＝2，∴k＝4.故所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.又|AB|＝1＋1k2|y2－y1|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2＝1＋116·4－4×－1204＝5272.解法二：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线存在斜率．当AB不垂直于x轴时，设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，则有y21＝8x1，①y22＝8x2，②且x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，③①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，④将③代入④，得y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝y1－y2x1－x2，则弦AB所在直线的斜率为4.故所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.又由y＝4x－15，y2＝8x，得16x2－128x＋225＝0.∴x1＋x2＝12816＝8，x1x2＝22516.∴|AB|＝1＋16·64－2254＝5272.[名师点拨]解决有关中点弦问题常用的方法是点差法和联立方程的方法，解此类问题还要注意斜率不存在的情况，防止漏解．(2019·台州市月考)过抛物线y2＝mx(m0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|＝54m，则m＝()A．6B．8C．10D．12解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∵过抛物线y2＝mx(m0)的焦点Fm4，0，设直线方程为x＝ky＋m4，代入抛物线方程可得y2－mky－m24＝0，∴y1＋y2＝mk，y1y2＝－m24.∴|PQ|2＝(1＋k2)[(y1＋y2)2－4y1y2]＝(1＋k2)(m2k2＋m2)＝2516m2，∴(k2＋1)2＝2516，∴k2＋1＝54，∴k2＝14，∴x1＋x2＝k(y1＋y2)＋m2＝mk2＋m2＝14m＋m2＝34m＝2×3，解得m＝8.答案：B题型三抛物线中的最值问题如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.(1)证明：直线AB必过一定点；(2)求△AOB面积的最小值．【思路探索】对于(1)，欲证直线AB过定点，需先求出直线AB的方程，再判断AB过定点；对于(2)，需将△AOB面积的表达式求出，再求最值．【解】(1)证明：显然直线OA存在斜率且不等于0.设OA所在直线的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝－1kx.由y＝kx，y2＝2x，解得x＝0，y＝0或x＝2k2，y＝2k，即A点的坐标为2k2，2k.同理由y＝－1kx，y2＝2x，解得B点的坐标为(2k2，－2k)．∴AB所在直线的方程为y＋2k＝2k＋2k2k2－2k2(x－2k2)，化简并整理，得1k－ky＝x－2.不论实数k取何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0.故直线过定点P(2,0)．(2)AB所在直线过定点P(2,0)，所以可设AB所在直线的方程为x＝my＋2.由x＝my＋2，y2＝2x，消去x并整理，得y2－2my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.于是|y1－y2|＝y1－y22＝y1＋y22－4y1y2＝2m2＋16＝2m2＋4.S△AOB＝12×|OP|×(|y1|＋|y2|)＝12|OP|·|y1－y2|＝12×2×2m2＋4＝2m2＋4.∴当m＝0时，△AOB的面积取得最小值4.[名师点拨](1)圆锥曲线中的定点、定值问题，往往是选择某一参数，用参数表示要研究的问题，通过运算证明与参数无关，也可利用特殊情况寻找定点、定值，然后对一般情况作出证明．(2)解决有关抛物线的最值问题，一种思路是合理转化，数形结合求解；另一种思路是代数法，转化为二次函数求最值．常见的题型有：①曲线上的点到直线的距离的最值问题；②过定点弦长的最值问题；③三角形面积的最值问题．已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，点P(2，n)(n0)在抛物线C上，|PF|＝3，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点．(1)求抛物线C的方程及点P的坐标；(2)求PA→·PB→的最大值．解：(1)∵点F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，|PF|＝3，∴2＋p2＝3，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x，∵点P(2，n)(n＞0)在抛物线C上，∴n2＝4×2＝8，由n＞0，得n＝22，∴P(2,22)．(2)由题意，显然直线l斜率不为0.因为直线l过焦点F(1,0)，所以可设直线l：x＝my＋1，联立y2＝4x，得y2－4my－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，∴PA→·PB→＝(x1－2)(x2－2)＋(y1－22)·(y2－22)＝x1x2－2(x1＋x2)＋y1y1－22(y1＋y2)＋12＝y214·y224－2y214＋y224＋y1y1－22(y1＋y2)＋12＝－8m2－82m＋5，所以，当m＝－22时，PA→·PB→的最大值为9.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线有()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无数多条D．不存在解析：∵AB过抛物线y2＝4x的焦点．∴|AB|＝x1＋x2＋2，又x1＋x2＝5，∴|AB|＝7.而当AB⊥x轴时，|AB|有最小值4，∴这样的直线有且仅有两条．答案：B2．已知抛物线y＝ax2与直线x－y－1＝0相切，则a＝()A.12B．13C.14D．4解析：由y＝ax2，x－y－1＝0，得ax2－x＋1＝0.∵直线与抛物线相切，∴Δ＝(－1)2－4a＝0，∴a＝14.答案：C3．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△PFM为等边三角形时，其面积为()A．43B．23C．4D．6解析：解法一：如图所示，∵△FPM为等边三角形，∴|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线l.设Pm24，m，则M(－1，m)，∴|PM|＝m24＋1.又F(1,0)，|PM|＝|FM|，∴m24＋1＝1＋12＋m2，∴m2＝12，∴|PM|＝4.∴△PFM的面积为12×4×4sin60°＝43.解法二：如图，∵△PFM为等边三角形，∴PM⊥准线l.设l交x轴于点N，则在Rt△FMN中，|FN|＝2，∠FMN＝30°，∴|FM|＝4.∴△PFM的面积为12×4×4sin60°＝43.答案：A4．抛物线y＝14x2的焦点关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标为()A．(2，－1)B．(1，－1)C.14，－14D．116，－116解析：抛物线x2＝4y的焦点F(0,1)，作图易知焦点F关于直线x－y－1＝0的对称点为(2，－1)．答案：A5．已知直线y＝x＋m与抛物线y2＝8x相交于A，B两点．(1)若|AB|＝10，求实数m的值；(2)若OA⊥OB，求实数m的值．解：由y＝x＋m，y2＝8x，得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2.由Δ＝(2m－8)2－4m20，得m2.(1)∵|AB|＝10，即1＋k2·|x1－x2|＝1＋1·8－2m2－4m2＝10，即64m＝28，∴m＝7162，∴实数m＝716.(2)∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，且m≠0.又∵y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝m2＋m(8－2m)＋m2＝8m，∴m2＋8m＝0.∵m≠0，∴m＝－8.