2019-2020学年高中数学 第2章 统计 2.4 线性回归方程课件 苏教版必修3

第2章统计2.4线性回归方程学习目标核心素养1.了解两个变量之间的相关关系并与函数关系比较．2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系．3．能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，并能由回归方程对总体进行预测、估计．(重点、难点)通过对已有数量的分析、运算培养学生数据分析、数学运算的核心素养.自主预习探新知1．变量之间的两类常见关系在实际问题中，变量之间的常见关系有如下两类：一类是___________关系，变量之间的关系可以用函数表示．另一类是_____关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示．2．相关关系的分类相关关系分______相关和_______相关两种．确定性函数相关线性非线性3．线性回归方程系数公式能用直线方程y^＝bx＋a近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫_______________．给出一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，线性回归方程中的系数a，b满足b＝ni＝1nxiyi－i＝1nxii＝1nyini＝1nx2i－i＝1nxi2，a＝y－bx.线性回归方程上式还可以表示为b＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx2＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2，a＝y－bx.①③④[②⑤为确定关系不是相关关系．]1．有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线上点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系．其中具有相关关系的是________．③[散点图①中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；③中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填③.]2．下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________．②[回归直线斜率为80，所以x每增加1，y^增加80，即劳动生产率提高1000元时，工资提高80元．]3．工人工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的线性回归方程为y^＝50＋80x，下列判断正确的是________．①劳动生产率为1000元时，工资为130元；②劳动生产率提高1000元时，工资提高80元；③劳动生产率提高1000元时，工资提高130元；④当月工资为250元时，劳动生产率为2000元．4．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：广告费用(千元)1461014销售额(千元)1944405253销售额y(千元)与广告费用x(千元)之间有线性相关关系，回归方程为y^＝2.3x＋a(a为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元．15[x＝7，y＝41.6，则a＝y－2.3x＝41.6－2.3×7＝25.5.当y＝6万元＝60千元时，60＝2.3x＋25.5，解得x＝15(千元)．]合作探究提素养变量间相关关系的判断【例1】在下列两个变量的关系中，具有相关关系的是________．①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故发生率之间的关系．②④[两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．]1．函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．准确理解变量间的相关关系是解答本题的关键．要准确区分两个变量间的相关关系和函数关系，事实上，现实生活中相关关系是处处存在的，从某种意义上讲，函数关系可以看作一种理想的关系模型，而相关关系是一种普遍的关系．两者区别的关键点是“确定性”还是“不确定性”．1．下列两个变量中具有相关关系的是________(填写相应的序号)．①正方体的棱长和体积；②单产为常数时，土地面积和总产量；③日照时间与水稻的亩产量．③[正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V＝x3；单产为常数a公斤/亩，土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y＝ax.日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选③.]2．下列命题：①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．其中正确的命题为________．③④⑤[两个变量不一定是相关关系，也可能是确定性关系，故①错误；圆的周长与该圆的半径具有函数关系，故②错误；③④⑤都正确．]散点图的画法及应用【例2】现有5个同学的数学和物理成绩如下表：学生学科ABCDE数学8075706560物理7066686462利用散点图判断它们是否具有线性相关关系？如果有线性相关关系，是正相关还是负相关？思路点拨：本题涉及两个变量(数学成绩与物理成绩)，以x轴表示数学成绩、y轴表示物理成绩，可得相应的散点图，再观察散点图得出结论．[解]把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在平面直角坐标系中描点(xi，yi)(i＝1,2，…，5)．从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有线性相关关系，且当数学成绩减小时，物理成绩也由大变小，即它们正相关．1．判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．如果变量的对应点分布没有规律，我们就可以认为这两个变量不具有相关关系．2．正相关、负相关线性相关关系又分为正相关和负相关．正相关是指两个变量具有相同的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变大．从散点图上看，因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域．负相关是指两个变量具有相反的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变小．从散点图上看，因变量随自变量的增大而减小，图中的点分布在左上角到右下角的区域．提醒：画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．3．如图是两个变量统计数据的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系？思路点拨：观察图中点的分布情况作出判断．从散点图上看，点的分布散乱无规律，故不具有相关关系．[解]不具有相关关系，因为散点散乱地分布在坐标平面内，不呈线形．4．有个男孩的年龄与身高的统计数据如下：年龄(岁)123456身高(cm)788798108115120画出散点图，并判断它们是否有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？思路点拨：描点(1,78)，(2,87)，(3,98)，(4,108)，(5,115)，(6,120)．观察点的分布，作出判断．[解]作出散点图如图：由图可见，具有线性相关关系，且是正相关．线性回归方程的求法及应用【例3】某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据．广告支出x/万元1234销售收入y/万元12284256(1)画出表中数据的散点图；(2)求出y对x的回归直线方程y^＝bx＋a，并解释b的意义；(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？思路点拨：画散点图→列表处理数据→计算x，y，ni＝14x2i，i＝14xiyi→计算b→计算a→线性回归方程→销售收入[解](1)散点图如图．(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以便计算回归系数a，B．序号xyx2y2xy111211441222284784563342917641264456163136224∑10138305828418于是x＝52，y＝692，i＝14x2i＝30，i＝14y2i＝5828，i＝14xiyi＝418，代入公式得，b＝i＝14xiyi－4xyi＝14x2i－4x2＝418－4×52×69230－4×522＝735，a＝y－bx＝692－735×52＝－2.故y对x的回归直线方程为y^＝735x－2，其中回归系数b＝735，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y平均增加735万元．(3)当x＝9万元时，y^＝735×9－2＝129.4(万元)，即若广告费为9万元，则销售收入约为129.4万元．1．求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：第一步，计算平均数x，y；第二步，求和i＝1nxiyi，i＝1nx2i；第三步，计算b＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2，a＝y－bx；第四步，写出线性回归方程y^＝bx＋A．2．对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的．因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程．提醒：(1)对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，判断变量之间是否线性相关，再由系数a，b的计算公式，计算出a，b，由于计算量较大，在计算时应借助计算器，仔细计算，以防出现错误．(2)为了方便，常制表对应算出xiyi，x2i，以便于求和．(3)研究变量间的相关关系，求得回归直线方程能帮助我们发现事物发展的一些规律，估计、预测某些数据，为我们的判断和决策提供依据．5．如图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1－7分别对应年份2012－2018.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：∑7i＝1yi＝9.32，∑7i＝1tiyi＝40.17，∑7i＝1yi－y2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r＝∑ni＝1ti－tyi－y∑ni＝1ti－t2∑ni＝1yi－y2，回归方程y^＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝∑ni＝1ti－tyi－y∑ni＝1ti－t2，a＝y－－bt.思路点拨：(1)利用相关系数的大小――→确定y与t的线性相关程度(2)求出回归方程→利用方程进行估计[解](1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得t＝4，∑7i＝1(ti－t)2＝28，∑7i＝1yi－y2＝0.55，∑7i＝1(ti－t)(yi－y)＝∑7i＝1tiyi－t∑7i＝1yi＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．(2)由y＝9.327≈1.331及(1)得b＝∑7i＝1ti－tyi－y∑7i＝1ti－t2＝2.8928≈0.103.a＝y－bt≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y关于t的回归方程为y^＝0.92＋0.10t.将2016年对应的t＝9代入回归方程得y^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．1