2019-2020学年高中数学 第2章 随机变量及其分布 3.2 离散型随机变量的方差课件 新人教A

第二章随机变量及其分布2．3离散型随机变量的均值与方差2．3.2离散型随机变量的方差梳理知识夯实基础自主学习导航1．理解取有限值的离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义．2．能计算简单离散型随机变量的方差和标准差并能应用．3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法．‖知识梳理‖1．设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称D(X)＝________________为随机变量X的方差，并称其算术平方根DX为随机变量X的__________．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的__________，方差和标准差越小，则随机变量偏离于均值的__________越小．2．若X服从两点分布，则D(X)＝__________；若X～B(n，p)，则D(X)＝__________；D(aX＋b)＝__________．i＝1n(xi－E(X))2pi标准差平均程度平均程度p(1－p)np(1－p)a2D(X)解剖难点探究提高重点难点突破随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X的取值的稳定与波动、集中与离散的程度．D(X)越小，稳定性越高，波动越小，D(X)越大，稳定性越低，波动越大．求离散型随机变量的方差常分以下三步：(1)列出随机变量的分布列；(2)求出随机变量的均值；(3)求出随机变量的方差D(X)＝i＝1n(xi－E(X))2pi.归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一求离散型随机变量的方差、标准差已知X的分布列为X010205060P1325115215115(1)求D(X)，DX；(2)设Z＝2X－E(X)，求D(Z)的值．【思路探索】对于(1)可直接根据定义求解；对于(2)可列出变量X的分布列，求出E(X)，根据定义求出D(X)，也可以利用方差的性质求解．【解】(1)E(X)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16.D(X)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384.DX＝86.(2)解法一：Z的分布列为Z－1642484104P1325115215115E(Z)＝－16×13＋4×25＋24×115＋84×215＋104×115＝16.D(Z)＝(－16－16)2×13＋(4－16)2×25＋(24－16)2×115＋(84－16)2×215＋(104－16)2×115＝1536.解法二：D(Z)＝D(2X－E(X))＝4D(X)＝4×384＝1536.[名师点拨]求离散型随机变量的方差关键是列出分布列，根据分布列求出期望E(X)，再利用公式D(X)＝i＝1n(xi－E(X))2pi求出方差，也可以利用公式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为ξ012P12－pp12则D(ξ)的最大值为________．解析：由分布列性质，得12－p≥0，p≥0，∴0≤p≤12，∴E(ξ)＝p＋1，D(ξ)＝－p2－p＋1＝－p＋122＋54，∴当p＝0时，D(ξ)取得最大值，为1.答案：1题型二两点分布、二项分布的方差(1)若随机变量X的分布列如下表所示：X01P0.30.7则E(X)＝________，D(X)＝________；(2)若随机变量X～B(3，p)，D(X)＝23，则p＝______.【思路探索】对于(1)属于两点分布直接套公式即可；对于(2)，属于二项分布，由方差公式，解方差可求出p.【解析】(1)∵E(X)＝0×0.3＋1×0.7＝0.7，D(X)＝0.7×(1－0.7)＝0.7×0.3＝0.21.(2)∵X～B(3，p)，∴D(X)＝3p(1－p)，由3p(1－p)＝23，得p＝13或p＝23.【答案】(1)0.70.21(2)13或23[名师点拨]若随机变量X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)；若随机变量X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)，显然两点分布是二项分布的特例.已知X服从二项分布B(n，p)，且E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96，则二项分布的参数n，p的值分别为________，________.解析：∵E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝9.2，∴E(X)＝2.4，又∵D(3X＋2)＝9D(X)＝12.96，∴D(X)＝1.44，已知X服从二项分布X～B(n，p)，∴np＝2.4，np1－p＝1.44，解得n＝6，p＝0.4.答案：60.4题型三离散型随机变量方差的应用甲、乙两种水稻在相同条件下，各种植100亩，它们收获情况如下：甲：亩产量(单位：公斤)300320330340亩数20254015乙：亩产量(单位：公斤)310320330340亩数30204010试评价哪种水稻的质量较好．【思路探索】比较两种水稻的均值，方差的大小，从而进行判断．【解】分别设甲，乙两种水稻的亩产量分别为ξ，η，则P(ξ＝300)＝20100＝15，P(ξ＝320)＝25100＝14，P(ξ＝330)＝40100＝25，P(ξ＝340)＝15100＝320；P(η＝310)＝30100＝310，P(η＝320)＝20100＝15，P(η＝330)＝40100＝25，P(η＝340)＝10100＝110.∴E(ξ)＝300×15＋320×14＋330×25＋340×320＝323；E(η)＝310×310＋320×15＋330×25＋340×110＝323.这表明两种水稻的平均亩产量相同．进一步求各自的方差，得D(ξ)＝(300－323)2×15＋(320－323)2×14＋(330－323)2×25＋(340－323)2×320＝171，D(η)＝(310－323)2×310＋(320－323)2×15＋(330－323)2×25＋(340－323)2×110＝101.即D(ξ)D(η)，这说明乙种水稻其亩产量较为稳定，因此乙种水稻的质量较好．[名师点拨]离散型随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．若方差越大，说明稳定性越低，波动越大，若方差越小，说明稳定性越强，波动性越小.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η.已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙击中10,9,8环的概率分别为0.3，0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并比较甲、乙两名射手的射击技术．解：(1)依题意，有0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.∵乙击中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，∴乙击中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2，∴ξ，η的分布列分别为ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)可得E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)E(η)，说明甲平均击中的环数比乙高，又D(ξ)E(η)，说明甲击中的环数比乙集中，比较稳定，∴甲比乙的射击技术好．即学即练稳操胜券课堂基础达标1．下列说法正确的是()A．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值B．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平C．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均水平答案：B2．设一随机试验的结果只有A和A，则P(A)＝m，令随机变量ξ＝1，A发生，0，A不发生，则ξ的方差D(ξ)等于()A．mB．2m(1－m)C．m(m－1)D．m(1－m)解析：显然ξ服从两点分布：ξ01P1－mm∴D(ξ)＝m(1－m)．答案：D3．已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.4)，则E(η)和D(η)分别是()A．2和2.4B．4和2.4C．6和2.4D．4和5.6解析：因为ξ～B(10,0.4)，所以E(ξ)＝10×0.4＝4，D(ξ)＝10×0.4×(1－0.4)＝2.4.又ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ，所以E(η)＝8－E(ξ)＝8－4＝4，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.答案：B4．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，其中a,2b，32c成等差数列，若E(ξ)＝14，则D(ξ)＝________.ξ－101Pabc解析：由题意，得a＋b＋c＝1，E(ξ)＝c－a＝14，a＋32c＝4b，因此a＝14，b＝14，c＝12，所以D(ξ)＝－542×14＋－142×14＋342×12＝1116.答案：11165．袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，取后不放回，直到取出白球为止．(1)求取球次数X的分布列；(2)求X的均值及方差．解：(1)X的取值为1,2,3,4,5，则P(X＝1)＝15，P(X＝2)＝4×15×4＝15，P(X＝3)＝4×3×15×4×3＝15，P(X＝4)＝4×3×2×15×4×3×2＝15，P(X＝5)＝4×3×2×1×15×4×3×2×1＝15.∴X的分布列为X12345P1515151515(2)E(X)＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝3，D(X)＝[(3－1)2＋(3－2)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]×15＝2.