2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列前n项和

2.3等差数列的前n项和第一课时等差数列前n项和的基本问题登高揽胜拓界展怀课前自主学习学习目标1．掌握等差数列前n项和公式及其获取思路(重点)．2．经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思．3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个(重、难点)．知识点一|数列an与前n项和Sn的关系阅读教材P42～P43，完成下列问题．‖知识梳理‖1．数列的前n项和的概念一般地，我们称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.2．数列的通项an与前n项和Sn的关系当n≥2时，有Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1，所以Sn－Sn－1＝an；当n＝1时，a1＝S1.综上可得an＝S1，n＝1，1_____________.Sn－Sn－1，n≥2‖思考辨析‖1．利用数列的前n项和Sn求数列的通项公式时，能不能直接运用Sn－Sn－1＝an求解？提示：不能．分n＝1，n≥2求解．2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，怎样求a1，an?提示：当n＝1时，a1＝S1＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－(n－1)2－1＝2n－1.∴an＝2，n＝1，2n－1，n≥2.知识点二|等差数列前n项和公式阅读教材P43～P44，完成下列问题．‖知识梳理‖1．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝2_____________Sn＝3_____________na1＋an2na1＋nn－12d2.两个公式的关系：把an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝na1＋an2中，就可以得到Sn＝na1＋nn－12d.‖小试身手‖1．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于()A．nB．n(n＋1)C．n(n－1)D．nn＋12解析：选D由前n项和公式得，Sn＝n×1＋nn－12×1＝nn＋12.故选D.2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S4＝20，则S6等于()A．16B．24C．36D．48解析：选D设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋4×32d＝20，即4×12＋4×32d＝20，解得d＝3，∴S6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.故选D.知识点三|等差数列前n项和的性质‖知识梳理‖1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列Snn也是等差数列，且公差为4_______.2．若Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为5_____________.d2m2d3．设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则anbn＝S2n－1T2n－1.4．若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝6_____________，S偶S奇＝7_____________.5．若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，S偶－S奇＝8_____________，S偶S奇＝9__________.ndan＋1an－an＋1nn＋1‖小试身手‖3．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是()A．－2B．－1C．0D．1解析：选B∵{an}为等差数列，且由Sn＝n2＋2n＋1＋λ，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1.故选B.4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5a3＝59，则S9S5＝()A．1B．－1C．2D．12解析：选AS9S5＝9a55a3＝95×59＝1.故选A.剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一数列an与前n项和Sn的关系互动探究【例1】(2018·山东青岛调研)已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝3×2n－3，其中n∈N*.求数列{an}的通项公式．[解](1)由Sn＝3×2n－3，n∈N*，得(ⅰ)当n＝1时，a1＝S1＝3×21－3＝3.(ⅱ)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3×2n－3)－(3×2n－1－3)＝3×(2n－2n－1)＝3×2n－1(*)．又当n＝1时，a1＝3也满足(*)式．所以，对任意n∈N*，都有an＝3×2n－1.探究1若条件变为“Sn＝2n＋3”，问题不变．解：当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－2n－1＝2n－1.因为当n＝1时，不符合an＝2n－1，所以数列{an}的通项公式为an＝5，n＝1，2n－1，n≥2.探究2若条件变为“a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3”，问题不变．解：当n≥2时，由a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，得a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－13，两式相减得3n－1an＝n3－n－13＝13，则an＝13n.当n＝1时，a1＝13，满足an＝13n，所以an＝13n.[方法总结]已知前n项和Sn，求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合，则统一用一个解析式表示；若不符合，则写成分段形式．题型二等差数列前n项和的有关计算【例2】在等差数列{an}中．(1)a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求n和d；(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d；(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.[解](1)由题意，得n56－322＝－5，解得n＝15.又a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16.(2)由已知，得S8＝8a1＋a82＝84＋a82＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.(3)由an＝a1＋n－1d，Sn＝na1＋nn－12d，得a1＋2n－1＝11，na1＋nn－12×2＝35，解方程组得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1.[方法总结]a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.1．已知等差数列{an}中．(1)a1＝32，d＝－12，Sm＝－15，求m及am；(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d；(3)S5＝24，求a2＋a4.解：(1)∵Sm＝m×32＋mm－12×－12＝－15，整理得m2－7m－60＝0，解得m＝12或m＝－5(舍去)，∴am＝a12＝32＋(12－1)×－12＝－4.(2)由Sn＝na1＋an2＝n·－512＋12＝－1022，得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.(3)解法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，则S5＝5a1＋5×5－12d＝24，得5a1＋10d＝24，a1＋2d＝245.∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×245＝485.解法二：由S5＝5a1＋a52＝24，得a1＋a5＝485.∴a2＋a4＝a1＋a5＝485.题型三等差数列前n项和的性质【例3】(1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为()A．130B．170C．210D．260(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝52，S10＝15，则a7＝()A.12B．1C.32D．2(3)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn＝2n＋2n＋3，则a5b5＝_____________.[解析](1)利用等差数列的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．所以Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)，即30＋(S3n－100)＝2(100－30)，解得S3n＝210.(2)因为S10＝10a1＋a102＝15，所以a1＋a10＝3，又a4＋a7＝a1＋a10＝3，所以a7＝3－52＝12.故选A.(3)由等差数列的性质，知a5b5＝a1＋a92b1＋b92＝a1＋a92×9b1＋b92×9＝S9T9＝2×9＋29＋3＝53.[答案](1)C(2)A(3)53[方法总结]等差数列的前n项和常用的性质(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列Snn为等差数列．(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d.①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn－1.2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝()A．18B．17C．16D．15解析：选A设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝14，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.故选A.3．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，求数列Snn前10项的和．解：因为an＝2n＋1，所以a1＝3，所以Sn＝n3＋2n＋12＝n2＋2n，所以Snn＝n＋2，所以Snn是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.知识归纳自我测评堂内归纳提升1．把握1个关系——数列an与前n项和Sn的关系an＝a1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.2．记住2个公式——等差数列求和公式Sn＝na1＋an2，Sn＝na1＋nn－12d.3．把握3组性质——等差数列的前n项和常用的性质(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列Snn为等差数列．(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn－1.「自测检评」1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn等于()A．－32n2＋n2B．－32n2－n2C.32n2＋n2D．32n2－n2解析：选A∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，∴Sn＝n－1＋2－3n2＝－32n2＋n2.故选A.2．若等差数列{an}的前5项的和S5＝25，且a2＝3，则a7等于()A．12B．13C．14D．15解析：选B∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5.∴d＝a3－a2＝5－3＝2.∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.故选B.3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27解析：选B∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.故选B.4．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，对一切自然数n，都有SnTn＝nn＋1，则a7b7等于()A.34B．56C.910D．1314解析：选D∵S13＝13a1＋a132＝1